Prinzip der geringsten Wirkung in der analytischen Mechanik

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Hintergrund




Der Grund für diese Veröffentlichung ist ein mehrdeutiger Artikel über das Prinzip der geringsten Handlung (IPA) , der vor einigen Tagen in der Ressource veröffentlicht wurde. Es ist zweideutig, weil sein Autor in populärer Form versucht, dem Leser eines der Grundprinzipien einer mathematischen Beschreibung der Natur zu vermitteln, und es gelingt ihm teilweise. Wenn nicht für einen, aber am Ende der Veröffentlichung lauern. Unter dem Spoiler ist ein vollständiges Zitat aus dieser Passage.

Ballbewegungsproblem

Nicht so einfach


Tatsächlich habe ich ein bisschen geschummelt, indem ich gesagt habe, dass sich Körper immer so bewegen, dass sie die Handlung minimieren. Obwohl dies in so vielen Fällen tatsächlich der Fall ist, können Situationen auftreten, in denen die Aktion eindeutig nicht minimal ist.

Nehmen Sie zum Beispiel einen Ball und legen Sie ihn an eine leere Stelle. In einiger Entfernung davon setzen wir eine elastische Wand. Angenommen, wir möchten, dass der Ball nach einiger Zeit an der gleichen Stelle ist. Unter diesen gegebenen Bedingungen kann sich der Ball auf zwei verschiedene Arten bewegen. Erstens kann es einfach an Ort und Stelle bleiben. Zweitens kann es gegen die Wand gedrückt werden. Der Ball wird die Wand erreichen, von ihr abprallen und zurückkommen. Es ist klar, dass Sie ihn so schnell antreiben können, dass er genau zum richtigen Zeitpunkt zurückkommt.

Bild

Beide Varianten der Ballbewegung sind möglich, aber die Aktion im zweiten Fall wird sich als größer herausstellen, da sich der Ball die ganze Zeit über mit einer kinetischen Energie ungleich Null bewegt.

Wie kann das Prinzip des geringsten Handlungsbedarfs gespeichert werden, damit es in solchen Situationen gerecht wird? Wir werden das nächste Mal darüber sprechen.

Also, was ist meiner Meinung nach das Problem?

Das Problem ist, dass der Autor unter Berufung auf dieses Beispiel eine Reihe grundlegender Fehler gemacht hat. Hinzu kommt, dass der geplante zweite Teil nach Angaben des Autors auf diesen Fehlern beruhen wird. Gestützt auf das Prinzip, die Ressource mit zuverlässigen Informationen zu füllen, bin ich gezwungen, meine Position zu diesem Thema ausführlicher zu erläutern, und das Format der Kommentare hierfür reicht nicht aus.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Mechanik auf der Basis von PND aufgebaut ist, und dem Leser erklärt, dass das vom Autor der zitierten Veröffentlichung aufgeworfene Problem fehlt.

1. Definition der Hamilton-Aktion. Prinzip der geringsten Aktion


Hamilton-Aktion heißt funktional

$ S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbfq (t), \ dot {\ mathbfq} (t) \ right) \, dt $


wo

$ L \ left (\ mathbfq (t), \ dot {\ mathbfq} (t) \ right) = T \ left (\ mathbfq (t), \ dot {\ mathbfq} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q) $


Ist die Lagrange-Funktion für ein mechanisches System, in dem (ohne die folgenden Argumente) T die kinetische Energie des Systems ist; P - seine potentielle Energie; q (t) ist der Vektor der verallgemeinerten Koordinaten dieses Systems, der eine Funktion der Zeit ist. Es wird angenommen, dass die Zeiten t 1 und t 2 fest sind.

Warum funktioniert Funktionalität nicht? Denn eine Funktion ist per Definition eine Regel, nach der eine Zahl aus der Definitionsdomäne (Funktionsargument) einer anderen Zahl aus der Wertedomäne zugeordnet wird. Eine Funktion unterscheidet sich dadurch, dass das Argument keine Zahl, sondern eine ganze Funktion ist. In diesem Fall ist dies das Bewegungsgesetz des mechanischen Systems q(t) definiert zumindest in dem Intervall zwischen t 1 und t 2 .

Langfristige (und das ist gelinde gesagt!) Arbeiten von Mechanikern (einschließlich des atemberaubenden Leonard Euler) ermöglichten es uns, das Prinzip der geringsten Wirkung zu formulieren

:
Ein mechanisches System, für das die Lagrange-Funktion spezifiziert ist $ L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) $bewegt sich so, dass das Gesetz seiner Bewegung q (t) dem Funktional ein Minimum liefert

$ S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbfq (t), \ dot {\ mathbfq} (t) \ right) \, dt \ to \ min $


die Hamilton-Aktion genannt.
Bereits aus der Definition von PND folgt, dass dieses Prinzip nur für eine begrenzte Klasse mechanischer Systeme zu Bewegungsgleichungen führt. Für was? Und lasst es uns herausfinden.

2. Die Grenzen der Anwendbarkeit des Grundsatzes der geringsten Wirkung. Einige Definitionen für die Kleinsten


Wie aus der Definition der Lagrange-Funktion hervorgeht, können mit PND Bewegungsgleichungen für mechanische Systeme erhalten werden, deren Kraftwirkung allein durch die potentielle Energie bestimmt wird. Um herauszufinden, um welche Systeme es sich handelt, geben wir einige Definitionen an, die ich, um den Artikel zu retten, unter den Spoiler lege

Energiearbeit in Bewegung
Betrachten Sie einen Punkt, der sich entlang der Flugbahn AB bewegt, auf die eine Kraft ausgeübt wird $ \ vec F $. Die unendlich kleine Verschiebung eines Punktes entlang der Trajektorie wird durch den Vektor bestimmt$ d \ vec s $entlang der Tangente auf die Flugbahn gerichtet.

Grundlegende Arbeit der Kraft$ \ vec F $ beim Umzug $ d \ vec s $ bezeichnet einen Skalarwert gleich

$ dA = \ vec F \ cdot d \ vec s $


Dann ist die volle Kraftarbeit beim Bewegen des Punktes entlang der Trajektorie AB ein krummliniges Integral

$ A = \ int \ limits_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s $



Kinetische Energie eines Punktes
Die kinetische Energie eines Punktes T ist die Arbeit, die die auf einen Massenpunkt m ausgeübten Kräfte leisten müssen, um den Punkt von Bewegung in Ruhe mit einer Geschwindigkeit umzuwandeln$ \ vec v $
Wir berechnen die kinetische Energie nach dieser Definition. Lassen Sie den Punkt beginnen, sich unter der Wirkung der auf ihn einwirkenden Kräfte aus einem Ruhezustand zu bewegen. Auf dem Abschnitt der Trajektorie AB nimmt es Geschwindigkeit an$ \ vec v $. Wir berechnen die von den auf den Punkt einwirkenden Kräften geleistete Arbeit, die wir nach dem Prinzip der Unabhängigkeit der Kräfte durch die resultierende ersetzen$ \ vec F $

$ T = A = \ int \ limits_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s $


Nach Newtons zweitem Gesetz

$ \ vec F = m \, \ vec a = m \, \ frac {d \ vec v} {dt} $


dann

$ T = \ int \ limits_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s = m \, \ int \ limits_ {AB} \ frac {d \ vec v} {dt} \, \ cdot d \ vec s = m \ int \ limits_ {AB} \, \ vec v \ cdot d \ vec v $


Wir berechnen das unter dem Vorzeichen stehende Skalarprodukt, für das wir das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors für sich zeitlich differenzieren

$ \ frac {d} {dt} (\ vec v \ cdot \ vec v) = \ frac {d \ vec v} {dt} \ cdot \ vec v + \ vec v \ cdot \ frac {d \ vec v} {dt} = 2 \, \ vec v \ cdot \ frac {d \ vec v} {dt} \ quad (1) $


Andererseits,

$ \ vec v \ cdot \ vec v = v ^ 2 $


Wir unterscheiden diese Gleichheit in Bezug auf die Zeit

$ \ frac {d} {dt} (\ vecv \ cdot \ vecv) = \ frac {d} {dt} (v ^ 2) = 2 \, v \, \ frac {dv} {dt} \ quad (2) $


Wenn wir (1) und (2) vergleichen, schließen wir daraus

$ \ vec v \ cdot d \ vec v = v \, dv $


Dann berechnen wir ruhig die Arbeit und decken ein krummliniges Integral durch ein bestimmtes Integral auf, wobei wir den Geschwindigkeitsmodul des Punkts am Anfang und am Ende des Pfades als Grenzen nehmen

$ T = m \ int \ limits_ {AB} \ vec \ cdot d \ vec v = m \ int \ limits_0 ^ vv \, dv = \ frac {m \, v ^ 2} {2} $



Konservative Kräfte und potentielle Energiepunkte
Betrachten Sie die Kraft, die auf einen Punkt wirkt, und zwar so, dass die Größe und Richtung dieser Kraft ausschließlich von der Position des Punkts im Raum abhängt

$ \ vec F = \ vec F (x, y, z) \ quad (3) $


Lassen Sie den Punkt im Raum entlang einer beliebigen Trajektorie AB bewegen. Wir berechnen, welche Arbeit die Truppe leisten wird (3)

$ A = \ int \ limits_ {AB} \ vecF \ cdot \ vecs = \ int \ limits_ {AB} \ left (F_x \, ​​dx + F_y \, dy + F_z \, dz \ right) $


Da die Projektion der Kraft auf die Koordinatenachse ausschließlich von denselben Koordinaten abhängt, können Sie die Funktion immer finden

$ U = U (x, y, z) $


so dass

$ F_x = \ frac {\ partielles U} {\ partielles x}, \ quad F_y = \ frac {\ partielles U} {\ partielles y}, \ quad F_z = \ frac {\ partielles U} {\ partielles z} $


Dann wird der Ausdruck für die Arbeit in konvertiert

$ A = \ int \ limits_ {AB} \ left (\ frac {\ partielles U} {\ partielles x} \, dx + \ frac {\ partielles U} {\ partielles y} \, dy + \ frac {\ partiell U} {\ partial z} \, dz \ right) = \ int \ limits_ {U_A} ^ {U_B} \, dU = U_B - U_A $


wo $ U_A, \, U_B $Sind die Werte der Funktion U (x, y, z) an den Punkten A bzw. B. Die Arbeit der Kraft, die wir betrachten, hängt also nicht von der Flugbahn des Punktes ab, sondern wird nur durch die Werte der Funktion U am Anfang und am Ende der Flugbahn bestimmt. Diese Kraft wird als eine konservative Kraft , und die entsprechende Funktion U (x, y, z) - Potenzfunktion. Offensichtlich$ \ vec F = \ nabla \, U $sowie die Gleichheit der Arbeit der konservativen Kraft mit Null, wenn sie sich auf einem geschlossenen Pfad bewegt. Es wird auch gesagt, dass die Funktion U (x, y, z) ein Kraftfeld im Raum definiert.
Mögliche Energie $ \ Pi = \ Pi (x, y, z) $ punkte im raum mit einem gegebenen kraftfeld werden als arbeit äußerer kräfte bezeichnet, die sie ausführen, wenn sich der punkt von einer bestimmten willkürlichen position, die als referenzpunkt für das potenzielle energieniveau gewählt wurde, zu der durch die koordinaten (x, y, z) festgelegten position im raum bewegt .
Wählen wir einen beliebigen Punkt O, der auf der Flugbahn des zuvor betrachteten Punktes zwischen den Punkten A und B liegt, und nehmen an, dass die potentielle Energie am Punkt O gleich Null ist. Dann per definitionem

$ \ Pi_A = - (U_A - U_O) $


Ist die potentielle Energie des Punktes in Position A und

$ \ Pi_B = - (U_B - U_O) $


- die potentielle Energie des Punktes in Position B. Unter Berücksichtigung der obigen Umstände berechnen wir erneut die Arbeit der potentiellen Kräfte beim Übergang von Punkt A zu Punkt B

$ A_ {AB} = A_ {AO} + A_ {OB} = U_O - U_A + U_B - U_O = (U_O - U_A) - (U_O - U_B) = \ Pi_A - \ Pi_B $


Die Arbeit der konservativen Kräfte ist also gleich der Änderung der potentiellen Energie eines Punktes mit dem entgegengesetzten Vorzeichen

$ A_ {AB} = \ Pi_A - \ Pi_B = - (\ Pi_B - \ Pi_A) = - \ Delta \ Pi $


Darüber hinaus hat die Wahl des Niveaus, bei dem wir die potentielle Energie als Null betrachten, keinerlei Einfluss auf das Ergebnis. Daraus lässt sich schließen, dass der Referenzpegel der potentiellen Energie völlig beliebig gewählt werden kann.

3. Das Konzept der Variationen von verallgemeinerten Koordinaten. Erklärung des Variationsproblems


Wir betrachten nun ein mechanisches System, das sich unter der Wirkung potentieller Kräfte bewegt und dessen Position eindeutig durch den Vektor der verallgemeinerten Koordinaten bestimmt wird

$ \ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4) $


Dabei ist s die Anzahl der Freiheitsgrade eines bestimmten Systems.

Das tatsächliche, uns bisher unbekannte Bewegungsgesetz dieses Systems wird durch die Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten (4) von der Zeit bestimmt. Betrachten Sie eine der verallgemeinerten Koordinaten$ q_i = q_i (t) $unter der Annahme einer ähnlichen Argumentation für alle anderen Koordinaten.


Abbildung 1. Tatsächliche Bewegung und Kreisverkehr eines mechanischen Systems.

In der Abbildung die Abhängigkeit$ q_i (t) $dargestellt durch eine rote Kurve. Wir wählen zwei beliebige feste Zeitpunkte t 1 und t 2 und setzen t 2 > t 1 . Systemposition$ \ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1) $ wir stimmen zu, die anfängliche Position des Systems zu nennen, und $ \ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2) $- die Endposition des Systems.

Ich bestehe jedoch erneut darauf, dass der folgende Text sorgfältig gelesen wird! Trotz der Tatsache, dass wir die Anfangs- und Endposition des Systems festgelegt haben, sind uns weder die erste noch die zweite Position im Voraus unbekannt! Sowie das unbekannte Bewegungsgesetz des Systems! Diese Bestimmungen gelten unabhängig von ihrer konkreten Bedeutung als Ausgangs- und Endposition.

Darüber hinaus glauben wir, dass von der Anfangsposition bis zum endgültigen System die Abhängigkeit auf unterschiedliche Weise erfolgen kann$ \ mathbf q = \ mathbf q (t) $kann jede kinematisch mögliche sein. Die tatsächliche Bewegung des Systems wird in einer einzigen Variante (rote Kurve) vorliegen, die übrigen kinematisch möglichen Varianten werden als Kreisverkehrbewegungen bezeichnet$ \ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t) $(blaue Kurve in der Abbildung). Unterschied zwischen real und roundabout

$ \ Delta q_i (t) = q ^ {*} _i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5) $


Wir nennen isochronen Variation des verallgemeinerten Koordinaten

in diesem Zusammenhang sollte die Variation (5) als unendlich kleine Funktion , um die Abweichung des tatsächlichen Verkehrskreisels zum Ausdruck zu verstehen. Das kleine "Delta" für die Bezeichnung wurde nicht zufällig gewählt und unterstreicht den grundsätzlichen Unterschied zwischen Variation und Funktionsdifferential. Differential ist der lineare Hauptteil des Funktionsinkrements, der durch das Argumentinkrement verursacht wird. Im Falle einer Variation wird eine Änderung des Wertes einer Funktion mit einem konstanten Wert des Arguments durch eine Änderung der Form der Funktion selbst verursacht! Wir variieren das Argument nicht in der Rolle der Zeit, daher wird die Variation als isochron bezeichnet. Wir variieren die Regel, nach der jeder Zeitwert mit einem bestimmten Wert von verallgemeinerten Koordinaten in Übereinstimmung gebracht wird!

Tatsächlich variieren wir das Bewegungsgesetz, nach dem das System vom Anfangszustand in den Endzustand übergeht. Der ursprüngliche und der endgültige Zustand werden durch das tatsächliche Bewegungsgesetz bestimmt, aber ich möchte noch einmal betonen: Wir kennen ihre spezifischen Werte nicht und können sie kinematisch darstellen. Wir glauben nur, dass sie existieren und das System sich garantiert von einer Position zur anderen bewegt! In der Anfangs- und Endposition des Systems variieren wir das Bewegungsgesetz nicht, daher sind die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten in der Anfangs- und Endposition gleich Null

$ \ Delta q_i (t_1) = \ Delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6) $


Basierend auf dem Prinzip der geringsten Aktion sollte die tatsächliche Bewegung des Systems so sein, dass ein Minimum an Aktionsfunktionalität bereitgestellt wird. Das Variieren der Koordinaten führt zu einer Änderung der Funktionsweise der Aktion. Eine notwendige Bedingung für das Erreichen eines Extremwertes durch das Funktionieren ist die Gleichheit mit Null seiner Variation

$ \ Delta S = \ Delta \ int \ Limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ Punkte, q_s, \, \ Punkt q_1, \ Punkte, \ Punkt q_s) \, dt = 0 \ Quad ( 7) $



4. Die Lösung des Variationsproblems. Lagrange-Gleichungen der 2. Art


Wir werden das von uns gestellte Variationsproblem lösen, für das wir die Gesamtvariation der Handlungsfunktion berechnen und mit Null gleichsetzen

$ \ begin {align} \ delta S = & \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ Punkt q_1, \ Punkte, \ Punkt q_s + \ Delta \ Punkt q_s) \, dt - \\ & - \ int \ Grenzen_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ Punkte, q_s, \, \ Punkt q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {align} $


Wir fahren alles unter ein Integral und da alle Operationen mit unendlich kleinen Mengen für Variationen gültig sind, transformieren wir dieses Krokodil in die Form

$ \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (8) $


Basierend auf der Definition der allgemeinen Geschwindigkeit

$ \ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt} $


Dann wird der Ausdruck (8) in die Form umgewandelt

$\int\limits_{t_1}^{t_2}\left[ \sum\limits_{i=1}^s \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i \, dt + \sum\limits_{i=1}^s \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}d(\delta q_i) \right] = 0$


Der zweite Term ist in Teilen integriert

$\sum\limits_{i=1}^s \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta q_i|_{t_1}^{t_2} + \int\limits_{t_1}^{t_2}\left[ \sum\limits_{i=1}^s \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i - \sum\limits_{i=1}^s \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right)\delta q_i \right]\,dt = 0\quad(10)$


Basierend auf Bedingung (7) haben wir

$\sum\limits_{i=1}^s \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta q_i|_{t_1}^{t_2} = 0$


dann bekommen wir die Gleichung

$\int\limits_{t_1}^{t_2}\left[ \sum\limits_{i=1}^s \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) \right) \, \delta q_i \right]\,dt = 0$


Bei beliebigen Integrationsgrenzen wird das Verschwinden eines bestimmten Integrals durch das Verschwinden des Integranden sichergestellt

$\sum\limits_{i=1}^s \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) \right] \, \delta q_i = 0\quad(11)$


Vorausgesetzt, dass die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten unabhängig sind, ist (11) nur gültig, wenn alle Koeffizienten der Variationen gleich Null sind, d.h.

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) =0, \quad \forall i = \overline{1,s}$


Niemand stört uns, jede der Gleichungen mit (-1) zu multiplizieren und eine bekanntere Notation zu erhalten

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} =0, \quad \forall i = \overline{1,s}\quad(12)$



Gleichungen (12) sind die Lösung des Problems . Und an dieser Stelle wird noch einmal darauf geachtet, das Variationsproblem durch das Prinzip der geringsten Wirkung zu lösen. Dies ist keine Funktion , die nach Hamilton eine minimale Wirkung liefert, sondern ein System von Differentialgleichungen, durch deren Lösung eine solche Funktion gefunden werden kann . In diesem Fall ist dies eine Lagrange-Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in Bezug auf die Lagrange-Funktion geschrieben wurde, dh in der Formulierung für konservative mechanische Systeme.

Und das Prinzip der geringsten Wirkung endet hier und die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen beginnt, die insbesondere besagt, dass die Lösung von Gleichung (12) eine Vektorfunktion der Form ist

$\mathbf q = \mathbf q(t, C_1, C_2,\dots,C_{2s})$


wobei C 1 , ..., C 2 beliebige Integrationskonstanten sind.

Auf diese Weise
PND ist ein grundlegendes Prinzip, mit dem man die Bewegungsgleichungen eines Systems erhalten kann, für das die Lagrange-Funktion definiert ist
Ein Punkt! In den Problemen der analytischen Mechanik müssen die obigen Berechnungen nicht mehr durchgeführt werden, es reicht aus, ihr Ergebnis zu verwenden (12). Eine Funktion, die Gleichung (12) erfüllt, ist das Bewegungsgesetz eines Systems, das PND erfüllt.

5. Das Problem mit dem Ball und der Wand


Nun zurück zu der Aufgabe, mit der alles begann - über die eindimensionale Bewegung eines Balls in der Nähe einer absolut elastischen Wand. Natürlich kann man für dieses Problem Differentialgleichungen der Bewegung erhalten. Da es sich um Bewegungsdifferentialgleichungen handelt, liefert jede ihrer Lösungen ein Minimum an Handlungsfunktionalität, was bedeutet, dass PND ausgeführt wird! Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen der Kugel kann in Form des sogenannten Phasenporträts des betrachteten mechanischen Systems dargestellt werden. Dieses Phasenporträt


Abbildung 2. Phasenporträt des Systems im Problem mit einer Kugel:

Die Koordinate der Kugel ist entlang der horizontalen Achse und die Projektion der Geschwindigkeit auf der x-Achse entlang der vertikalen Achse aufgetragen. Es mag seltsam erscheinen, aber diese Zeichnung spiegelt alle möglichen Phasenverläufe des Balls unter allen anfänglichen oder gewünschten Randbedingungen wider. Tatsächlich gibt es unendlich viele parallele Linien in der Grafik, die Zeichnung zeigt einige davon und die Bewegungsrichtung entlang der Phasenbahn.

Dies ist eine allgemeine Lösung für die Bewegungsgleichung der Kugel. Jede dieser Phasenverläufe bietet ein Minimum an Aktionsfunktionalität, die sich direkt aus den oben durchgeführten Berechnungen ergibt.

Was macht der Aufgabenautor? Er sagt: Hier ist der Ball in Ruhe und über einen Zeitraum von t A bis t BAktion ist Null. Wenn der Ball gegen die Wand gedrückt wird, ist die Wirkung für denselben Zeitraum größer, da der Ball eine von Null verschiedene und unveränderte kinetische Energie aufweist. Aber warum bewegt sich der Ball zur Wand, weil im Ruhezustand die Aktion geringer ist? PND hat also Probleme und funktioniert nicht! Aber wir werden dies definitiv im nächsten Artikel lösen.

Was der Autor sagt, ist Unsinn. Warum? Ja, weil er Aktionen auf verschiedenen Zweigen derselben realen Phasenbahn vergleicht! Währenddessen wird bei der Anwendung von PND die Auswirkung auf die tatsächliche Flugbahn und auf viele Kreisverkehrstrajektorien verglichen. Das heißt, die Aktion auf der realen Flugbahn wird mit der Aktion auf den Flugbahnen verglichen, die nicht in der Natur sind und niemals sein werden!

Unverständlich? Ich werde es noch verständlicher erklären. Betrachten Sie den Ruhezustand. Es wird durch einen Phasenporträtzweig beschrieben, der mit der Abszissenachse zusammenfällt. Die Koordinate ändert sich nicht mit der Zeit. Dies ist eine echte Bewegung. Und welche Art von Bewegung wird Kreisverkehr sein. Beliebig andere kinematisch möglich. Zum Beispiel kleine Kugelvibrationen in der Nähe der Ruheposition, die wir betrachten. Lässt das Problem den Ball entlang der x-Achse schwingen? Angenommen, eine solche Bewegung ist kinematisch möglich und kann als einer der Kreisverkehre angesehen werden.

Warum ruht der Ball noch? Ja, weil die Wirkung im Ruhezustand über einen festen Zeitraum von t A bis t B berechnet wirdwird es weniger Maßnahmen geben, mit kleinen Schwankungen im gleichen Zeitraum. Dies bedeutet, dass die Natur Ruhe vor Vibrationen und anderen „Bewegungen“ des Balls bevorzugt. In voller Übereinstimmung mit der IPA.

Nehmen wir an, wir haben den Ball gegen die Wand geschoben. Schieben wir es so, wie es der Autor will, mit einer Geschwindigkeit, die aus den Randbedingungen ausgewählt wurde, so dass sich der Ball zum Zeitpunkt t B in der gleichen Position befindet, aus der er gestartet ist. Der Ball fliegt mit konstanter Geschwindigkeit an die Wand, springt elastisch und kehrt zum Zeitpunkt t B in seine Ausgangsposition zurückwieder mit konstanter Geschwindigkeit. Ok, das ist eine echte Bewegung. Welche Bewegung wird einer der Kreisverkehre sein? Zum Beispiel, wenn sich der Ball mit einer Geschwindigkeit auf die Wand zu und von dieser weg bewegt, die sich mit der Zeit ändert. Ist eine solche Bewegung kinematisch möglich? Möglicherweise. Warum ändert sich das Ballgeschwindigkeitsmodul nicht? Ja, da die Aktion auf einer solchen Phasenbahn im Vergleich zu jeder anderen Option, bei der die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, einen Mindestwert hat.

Das ist alles. Nichts so magisches passiert hier. IPA funktioniert problemlos.

Schlussfolgerungen und Wünsche


PND ist ein Grundgesetz der Natur. Daraus ergeben sich insbesondere Gesetze der Mechanik, beispielsweise Differentialbewegungsgleichungen (12). PND sagt uns, dass die Natur so strukturiert ist, dass die Bewegungsgleichung eines konservativen mechanischen Systems genauso aussieht wie der Ausdruck (12) und sonst nichts. Mehr wird von ihm nicht verlangt.

Keine Notwendigkeit, Probleme zu erfinden, wo sie nicht sind.

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