Polyeder korrigieren. Teil 1. Dreidimensional

Einleitung Die Aussage der Frage.


Leider werden im Lehrplan der Schule die sphärische Geometrie und die Lobatschewski-Geometrie nicht untersucht. Indessen ermöglicht ihre Untersuchung zusammen mit der euklidischen Geometrie ein tieferes Verständnis dessen, was mit Objekten geschieht. Zum Beispiel, um die Beziehung von regelmäßigen Polyedern zu Teilungen einer Kugel, Teilungen der euklidischen Ebene und Teilungen der Lobatschewski-Ebene zu verstehen.
Die Kenntnis der Geometrie von Räumen konstanter Krümmung trägt dazu bei, die Dreidimensionalität zu überwinden und Polyeder in Räumen der Dimension 4 und darüber zu identifizieren. Die Fragen der Suche nach Polyedern, der Suche nach Partitionen von Räumen mit konstanter Krümmung und der Ableitung der Diederwinkelformel eines regelmäßigen Polyeders im n-dimensionalen Raum sind so eng miteinander verknüpft, dass es sich als schwierig herausstellte, all dies in den Titel des Artikels zu schreiben. Der Fokus soll auf verständlichen, regelmäßigen Polyedern liegen, die nicht nur das Ergebnis aller Schlussfolgerungen sind, sondern gleichzeitig ein Werkzeug zum Erfassen von Räumen höherer Dimensionen und gleichmäßig gekrümmten Räumen darstellen.

Für diejenigen, die nicht wissen (vergessen), informiere ich (erinnere mich), dass es im üblichen dreidimensionalen euklidischen Raum nur fünf reguläre Polyeder gibt:
1. Tetraeder:2. Würfel:3. Oktaeder:4. Dodekaeder:5. Ikosaeder:






Im dreidimensionalen Raum ist ein regelmäßiges Polyeder ein konvexes Polyeder, bei dem alle Eckpunkte gleich sind, alle Kanten gleich sind, alle Flächen gleich sind und die Flächen regelmäßige Polygone sind.

Ein reguläres Polygon ist ein konvexes Polygon, bei dem alle Seiten gleich sind und alle Winkel gleich sind.

Die Scheitelpunkte sind gleich, dh die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen, die mit jedem Scheitelpunkt übereinstimmen, sind gleich und passen an jedem Scheitelpunkt unter den gleichen Winkeln.

Es stellt sich heraus, dass reguläre Polyeder bequemerweise mit dem Shlefli-Symbol {p1, p2} bezeichnet werden, das ihre kombinatorische Struktur kennzeichnet. Das bedeutet, dass p1-Quadrate oben auf p2-Teilen konvergieren. Das heißt per definitionem sind p1, p2 ganze Zahlen größer oder gleich 3. Für diejenigen, die mit dem Konzept von Shleflis Symbol nicht vertraut sind, schrieb er einen separaten Artikel mit Bildern von Shleflis Symbol. Teil 2.6

In einem solchen Eintrag erhält unser Polyeder die Notation:
1. Tetraeder {3, 3},
2. Würfel {4, 3},
3. Oktaeder {3, 4},
4. Dodekaeder {5, 3},
5. Ikosaeder { 3, 5}
Zum Beispiel {4, 3} - ein Würfel hat 4 Kohleflächen, 3 solche Flächen laufen an jedem Scheitelpunkt zusammen.
Das Oktaeder {3, 4} steht im Gegensatz dazu 3 Kohlen gegenüber und konvergiert 4 Stücke an der Spitze.
Somit bestimmt das Schlefli-Symbol die kombinatorische Struktur des Polyeders vollständig.

Warum gibt es nur 5 reguläre Polyeder? Vielleicht gibt es noch mehr davon?

Um diese Frage vollständig beantworten zu können, müssen Sie zunächst eine intuitive Vorstellung von der Geometrie auf der Kugel- und der Lobatschewski-Ebene erhalten. Diejenigen, die noch keine solche Idee haben, werden versuchen, die notwendigen Erklärungen abzugeben.

Kugel


1. Was ist ein Punkt auf einer Kugel? Ich denke, dass jeder intuitiv ist. Geistig ist es nicht schwer, sich einen Punkt auf einer Kugel vorzustellen.

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2. Was ist ein Segment auf einer Kugel? Wir nehmen zwei Punkte und verbinden sie mit dem kürzesten Abstand auf der Kugel, wir bekommen einen Bogen, wenn Sie die Kugel von der Seite betrachten.

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3. Wenn Sie dieses Segment in beide Richtungen fortsetzen, wird es geschlossen und Sie erhalten einen Kreis. In diesem Fall enthält die Ebene des Kreises den Mittelpunkt der Kugel, dies folgt aus der Tatsache, dass wir die beiden Startpunkte durch den kürzesten und nicht willkürlichen Abstand verbunden haben. Es sieht aus wie ein Kreis von der Seite und in Bezug auf die sphärische Geometrie ist es eine gerade Linie, wie sie aus einem Segment erhalten wurde, das sich in beide Richtungen bis unendlich fortsetzt.

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4. Und schließlich, was ist ein Dreieck auf einer Kugel? Wir nehmen drei Punkte auf der Kugel und verbinden sie mit Segmenten.

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Analog zu einem Dreieck können Sie ein beliebiges Polygon auf eine Kugel zeichnen. Die Eigenschaft eines sphärischen Dreiecks, dass die Summe der Winkel eines solchen Dreiecks mehr als 180 Grad beträgt, wie wir es im euklidischen Dreieck gewohnt sind, ist für uns von grundlegender Bedeutung. Außerdem ist die Summe der Winkel zweier verschiedener sphärischer Dreiecke unterschiedlich. Je größer das Dreieck, desto MEHR ergibt sich die Summe der Winkel.

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Dementsprechend erscheint das vierte Vorzeichen der Gleichheit der Dreiecke auf der Kugel - unter drei Winkeln: Zwei sphärische Dreiecke sind gleich, wenn die entsprechenden Winkel gleich sind.

Der Einfachheit halber ist es einfacher, die Kugel nicht selbst zu zeichnen, dann sieht das Dreieck etwas aufgebläht aus:

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Die Kugel wird auch als Raum konstanter positiver Krümmung bezeichnet. Die Krümmung des Raumes führt nur dazu, dass der kürzeste Abstand ein Bogen ist und keine gerade Linie, die uns vertraut ist. Das Segment ist sozusagen gekrümmt.

Lobachevsky


Jetzt, da wir uns mit der Geometrie auf der Kugel vertraut gemacht haben, wird es auch nicht schwierig sein, die Geometrie auf der hyperbolischen Ebene zu verstehen, die der große russische Wissenschaftler Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski entdeckt hat, da alles genau so abläuft wie die Kugel, nur "von innen nach außen", "umgekehrt". Wenn die Bögen auf der Kugel durch Kreise mit dem Mittelpunkt innerhalb der Kugel gezeichnet wurden, müssen die Bögen jetzt durch Kreise mit dem Mittelpunkt außerhalb der Kugel gezeichnet werden.

Fangen wir an. Wir werden die Lobatschewski-Ebene in der Interpretation von Poincare II (Jules Henri Poincare, der große französische Wissenschaftler) darstellen. Diese Interpretation der Lobatschewski-Geometrie wird auch als Poincare-Scheibe bezeichnet.

1. Ein Punkt in der Lobatschewski-Ebene. Ein Punkt - es ist ein Punkt in Afrika.

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2. Ein Segment in der Lobatschewski-Ebene. Wir verbinden die beiden Punkte durch eine Linie auf der kürzesten Strecke im Sinne der Lobatschewski-Ebene.

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Der kürzeste Abstand ergibt sich wie folgt:

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Wir müssen einen Kreis senkrecht zur Poincare-Scheibe durch die angegebenen zwei Punkte (Z und V in der Abbildung) zeichnen. Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt immer außerhalb der Scheibe. Der Bogen, der die ersten beiden Punkte verbindet, ist der kürzeste Abstand im Sinne der Lobatschewski-Ebene.

3. Entfernen Sie die Hilfsbögen, erhalten Sie die Gerade E1 - H1 in der Lobatschewski-Ebene.

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Die Punkte E1, H1 "liegen" im Unendlichen der Lobatschewski-Ebene. Im Allgemeinen ist der Rand der Poincare-Scheibe alle unendlich entfernten Punkte der Lobatschewski-Ebene.

4. Und schließlich, was ist ein Dreieck in der Lobatschewski-Ebene? Wir nehmen drei Punkte und verbinden sie mit Segmenten.

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In Analogie zu einem Dreieck können Sie ein beliebiges Polygon auf der Lobatschewski-Ebene zeichnen. Die Eigenschaft eines hyperbolischen Dreiecks, dass die Winkelsumme eines solchen Dreiecks immer kleiner als 180 Grad ist, wie wir es im euklidischen Dreieck gewohnt sind, ist für uns von grundlegender Bedeutung. Darüber hinaus ist die Summe der Winkel zweier verschiedener hyperbolischer Dreiecke unterschiedlich. Je größer das Dreieck in der Fläche ist, desto WENIGER ist die Summe der Winkel.

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Dementsprechend gibt es auch hier das 4. Gleichheitszeichen von hyperbolischen Dreiecken - in drei Winkeln: Zwei hyperbolische Dreiecke sind gleich, wenn sie entsprechende Winkel haben.

Der Einfachheit halber kann die Poincare-Scheibe selbst manchmal nicht gezeichnet werden, dann sieht das Dreieck ein bisschen "geschrumpft", "entleert" aus:

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Die Lobatschewski-Ebene (und im Allgemeinen der Lobatschewski-Raum jeder Dimension) wird auch als Raum konstanter NEGATIVER Krümmung bezeichnet. Die Krümmung des Raumes führt nur dazu, dass der kürzeste Abstand ein Bogen ist und keine gerade Linie, die uns vertraut ist. Das Segment ist sozusagen gekrümmt.

Regelmäßige Partitionen einer zweidimensionalen Kugel und regelmäßiger dreidimensionaler Polyeder


Alles, was über die Kugel und die Lobatschewski-Ebene gesagt wurde, bezieht sich auf die Zweidimensionalität, d.h. Die Oberfläche der Kugel ist zweidimensional. Was hat das mit der im Titel des Artikels angegebenen Dreidimensionalität zu tun? Es stellt sich heraus, dass jedes dreidimensionale reguläre euklidische Polyeder eine eigene Unterteilung der zweidimensionalen Kugel eins zu eins hat. Dies ist am besten in der Abbildung zu sehen:

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Um eine Teilung einer Kugel aus einem regulären Polyeder zu erhalten, muss eine Kugel um das Polyeder beschrieben werden. Die Eckpunkte des Polyeders erscheinen auf der Oberfläche der Kugel und verbinden diese Punkte mit Segmenten auf der Kugel (Bögen). Wir erhalten eine Aufteilung der zweidimensionalen Kugel in regelmäßige kugelförmige Polygone. Wir haben zum Beispiel ein Video gemacht, in dem gezeigt wird, wie ein Ikosaeder dem Teilen einer Kugel in sphärische Dreiecke entspricht und umgekehrt, wie das Teilen einer Kugel in sphärische Dreiecke, die in der Spitze fünf konvergieren, einem Ikosaeder entspricht.



Um ein Polyeder unter Verwendung der Teilung einer Kugel zu konstruieren, müssen die Scheitelpunkte der Teilung, die den Bögen entsprechen, durch gewöhnliche, gerade, euklidische Segmente verbunden werden.

Dementsprechend definiert das Shlefli-Symbol des Ikosaeders {3, 5} - Dreiecke, die am Scheitelpunkt in fünf Teilen zusammenlaufen - nicht nur die Struktur dieses Polyeders, sondern auch die Struktur der Teilung der zweidimensionalen Kugel. Ähnlich wie bei anderen Polyedern bestimmen auch deren Shlefli-Symbole die Struktur der entsprechenden Partitionen. Darüber hinaus können durch das Shlefli-Symbol auch Teilungen der euklidischen Ebene und der Lobatschewski-Ebene in regelmäßige Polygone angegeben werden. Zum Beispiel {4, 4} - Vierecke, die zu vier zusammenlaufen - dies ist ein vertrautes Notizbuch für uns in einer Schachtel, das heißt Dies ist eine Unterteilung der euklidischen Ebene in Quadrate. Gibt es noch andere Teile der euklidischen Ebene? Wir werden weiter sehen.

Teilungen einer zweidimensionalen Kugel, der Euklidischen Ebene und der Lobatschewski-Ebene


Um Partitionen von zweidimensionalen Räumen mit konstanter Krümmung zu konstruieren (dies ist der gebräuchliche Name für diese drei Räume), benötigen wir die Geometrie der Grundschule und das Wissen, dass die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks mehr als 180 Grad (mehr als Pi) und die Summe der Winkel eines hyperbolischen Dreiecks weniger als 180 Grad (weniger als Pi) beträgt Was ist das Shlefly-Symbol? All dies wurde bereits oben gesagt.

Nehmen wir also ein beliebiges Schleufly-Symbol {p1, p2}, das eine Teilung von einem von drei Räumen konstanter Krümmung definiert (für eine Ebene ist dies wahr, für Räume höherer Dimensionen ist die Situation komplizierter, aber nichts hindert uns daran, alle Kombinationen des Symbols zu untersuchen).

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Betrachten Sie ein reguläres p1-Gon, und zeichnen Sie Segmente, die den Mittelpunkt und die Scheitelpunkte verbinden. Wir erhalten p1 Stücke eines gleichschenkligen Dreiecks (die Abbildung zeigt nur ein solches Dreieck). Die Summe der Winkel jedes dieser Dreiecke wird mit t bezeichnet, und wir drücken t in Form von pi und dem Lambda-Koeffizienten aus.

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Wenn dann Lambda = 1 ist, dann ist das euklidische Dreieck, d.h. Befindet sich Lamda in der euklidischen Ebene im Intervall (1, 3), bedeutet dies, dass die Summe der Winkel größer als pi ist und dieses Dreieck sphärisch ist (es ist nicht schwer vorstellbar, dass wir mit einer Zunahme des sphärischen Dreiecks im Grenzbereich einen Kreis mit drei Punkten darauf erhalten) an jedem Punkt ist der Winkel des Dreiecks gleich pi und in der Summe 3 * pi. Dies erklärt die obere Grenze des Intervalls = 3). Wenn Lambda im Intervall (0, 1) liegt, ist das Dreieck hyperbolisch, da die Summe seiner Winkel kleiner als pi ist (d. H. Kleiner als 180 Grad). Kurz gesagt kann dies wie folgt geschrieben werden:

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Es ist nicht schwierig zu berechnen, dass:

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Andererseits ist es für die Konvergenz am Scheitelpunkt p2 von Stücken (d. H. Einer ganzen Zahl) der gleichen Polygone notwendig, dass

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Gleichsetzen der Ausdrücke für 2 * betta aus der Konvergenzbedingung und aus dem Polygon:

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Wir haben eine Gleichung erhalten, die zeigt, welcher der drei Räume die durch das Shlefli-Symbol {p1, p2} definierte Figur teilt. Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir auch daran erinnern, dass p1, p2 ganze Zahlen größer oder gleich 3 sind. Dies ergibt sich sozusagen aus ihrer physikalischen Bedeutung, da es sich um p1-Gons (mindestens 3 Winkel) handelt, die in p2-Stücken zusammenlaufen an der Spitze (auch mindestens 3, sonst wird es nicht funktionieren).

Die Lösung für diese Gleichung besteht darin, alle möglichen Werte für p1, p2 größer oder gleich 3 zu sortieren und den Lambdawert zu berechnen. Wenn es sich als 1 herausstellt, dann teilt {p1, p2} die euklidische Ebene, wenn mehr als 1, aber weniger als 3, dann ist dies eine Unterteilung der Sphäre, wenn von 0 bis 1, dann ist dies eine Unterteilung der Lobatschewski-Ebene. Alle diese Berechnungen sind bequem tabellarisch aufgeführt.

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Dies zeigt Folgendes:
1. Die Kugel entspricht nur 5 Entscheidungen. Wenn das Lambda größer als 1 und kleiner als 3 ist, werden sie in der Tabelle grün hervorgehoben. Dies sind: {3, 3} - ein Tetraeder, {3, 4} - ein Oktaeder, {3, 5} - ein Ikosaeder, {4, 3} - ein Würfel, {5, 3} - ein Dodekaeder. Ihre Bilder wurden zu Beginn des Artikels vorgestellt.
2. Nur drei Lösungen entsprechen euklidischen Ebenenpartitionen. Wenn lamda = 1 ist, werden sie in der Tabelle blau hervorgehoben. So sehen diese Partitionen aus.





3. Und schließlich entsprechen alle anderen Kombinationen {p1, p2} Partitionen der Lobatschewski-Ebene, und solche Partitionen sind unendlich (zählbar) in der Anzahl. Es bleiben nur einige von ihnen zu veranschaulichen, zum Beispiel.

{3, 7}



{4, 5}



{4, 6}



{4, 7}



{5, 4}



{5, 5}



{5, 6}



{5, 7}



{6, 4}



Zusammenfassung


Es gibt also nur 5 reguläre Polyeder, sie entsprechen fünf Partitionen der zweidimensionalen Sphäre, nur 3 Partitionen der euklidischen Ebene und zählbar viele Partitionen der Lobatschewski-Ebene.
Was ist die Anwendung dieses Wissens?

Es gibt Leute, die direkt daran interessiert sind, die Kugel zu unterteilen: dxdy.ru/topic62800.html ,
Es gibt Artikel über Habré ( hier ), in denen auch die Interpretation der Lobatschewski-Geometrie diskutiert wird. Dieser Artikel wird wahrscheinlich jemandem helfen, die Lobatschewski-Geometrie besser zu verstehen und sich mit ihr vertraut zu machen.

Die Kenntnis der Polyeder hilft auch bei der Beantwortung der Frage: Wie viele reguläre Sechsecke hat ein Fußball und wie viele Fünfecke hat er? Zu wissen , dass ein Fußball - einen Ikosaederstumpf, sobald es möglich ist , diese Frage zu beantworten: Fünfecke so viele Spitzen in dem Ikosaeder, Hexagone so viele Gesichter in dem Ikosaeder, daher Fünfecke 12, Hexagone 20.es

Ja, ich möchte Ihnen sagen , mehr über kombi die Formel zur Berechnung der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen dieser fünf regulären Polyeder, aber dies ist das nächste Mal. Und ohne das erwies es sich als schwierig, obwohl ich auf den schulischen Wissensstand der Leser vertraute.

Auch im nächsten Artikel werde ich angesichts des Interesses der Leser zeigen, wie dieser Ansatz auf Räume höherer Dimensionen verallgemeinert wird.

Für mich persönlich erlaubt die Kenntnis von Partitionen, die Struktur dieser Räume zu verstehen, insbesondere in Dimensionen über 3.

Wenn Sie nicht über genügend dreidimensionalen Raum verfügen, verstehen Sie diese Publikation und möchten in der Dimension höher klettern, dann gehen Sie "zur nächsten Ebene" :)
Links:
Regelmäßige Polyeder . Teil 1. Dreidimensionale
regelmäßige Polyeder. Teil 2. Vierdimensionale
regelmäßige Polyeder. Teil 2.5 (Hilfs)
Das Symbol Shafly. Teil 2.6

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