Magie konstant

Es gibt einige Quadrate, die als magisch bezeichnet werden. Nun, wahrscheinlich weiß jeder, dass die Summe der Zahlen in solchen Quadraten entlang der Horizontalen, Vertikalen und Hauptdiagonalen die gleiche ist, das heißt, die gleiche Zahl. Diese Zahlensumme wird magische Konstante genannt (im Folgenden M n , wobei n die Größe des Quadrats ist; n> 2). Zurück in der Schule erinnere ich mich an die Formel zur Berechnung dieser Konstante: M n = n * (n 2 + 1) / 2, mir war nicht klar, woher sie kam ... hier versuchen wir, sie abzuleiten, vielleicht hat jemand sie bereits abgeleitet, vielleicht auch Vielleicht auf eine andere Weise, ist es nicht wichtig, nur zu schreiben.

Die Zahlen wieder in Quadrate schreiben, bemerkte einmal so etwas. Wenn Sie Zahlen von 1 bis n 2 in Spalten von links nach rechts eingeben , erhalten Sie beim Hinzufügen von Zahlen entlang einer Hauptdiagonale immer eine magische Konstante. Hier können Sie sie sehen:

M 3 :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M 4 :
1 5 9   13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

Gemäß der Formel:

M 3 = n * (n 2 + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M 4 = n * (n 2 + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

Auf den Diagonalen (oben fett):

M 3 = 1 + 5 + 9 = 15
M 4 = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

Im Gegensatz zur Formel können die Diagonalen eine Antwort darauf geben, was passiert. Betrachten Sie die Zahlen in den Diagonalen:

M 3 = 1 + 5 + 9
M 4 = 1 + 6 + 11 + 16

Schreiben Sie es anders:

M 3 = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M 4 = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

Hinweis? Nun in einer Gesamtansicht von n:

M n= 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n) Wir werden dies

neu anordnen (hervorgehoben fett)
M n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

und dieses (in Fettdruck)
M n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) ) + n)

und erhalten:

M n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1) )

n aus der Klammer setzen:

M n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1))       [1]

Jetzt führen wir eine neue Bezeichnung ein ,

S n = 1 + 2 + 3 + ... + n                                                                                  [2]
, dann
S n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S n - n                                                            [3]

Nun umschreiben Formel [1] unter Berücksichtigung der Notation [2] und [3], und erhalten Sie:

M n = Sn + n * ( Sn - n)                                                                                  [4]

oder so:

M n = Sn * (n + 1) - n 2

                                                    [5]

S n , dassBerücksichtigung - offensichtlich durch die Formel S berechnet n = n 2 /2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2 istsubstituiert in [5] : M n = Sn * (n + 1) - n 2 = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n 2 = n * (n 2 + 2 * n + 1 - 2 * n) ) / 2 = n * (n 2 + 1) / 2 M n = n * (n 2 + 1) / 2 CTD












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