Welche Figur der gleichen flachen Objekte wird weiter als die Tischkante aussehen?

Ursprünglicher Autor: Pradeep Mutalik
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Im November verwirrte die Zeitschrift Quanta ihre Leser mit Fragen zur Zusammenstellung von Figuren aus identischen flachen Objekten (wie Münzen oder Dominosteine). Dieser Artikel enthält sowohl Fragen als auch detaillierte Antworten darauf.

Frage 1


Bei der klassischen Aufgabe, eine überhängende Figur zu konstruieren, müssen alle Blöcke in Größe und Form gleich sein, und ihre Länge wird als Einheit betrachtet. Auf jeder Ebene der Figur kann es nur einen Block geben. Blöcke können nicht verbunden oder geklebt werden. Wenn Sie fünf solcher Blöcke haben, bei welcher maximalen Länge kann sich das Ende des oberen Blocks über die Tischkante hinauslehnen, auf der sie liegen? Können Sie eine Formel für den maximalen Überhang ableiten, wenn Sie n Blöcke verwenden?

Physikalisch erfordert die Aufgabe das Ausgleichen des Drehmoments der Figur auf beiden Seiten der Tischkante. Das Drehmoment jeder Seite ist das Produkt aus der Masse dieser Seite und dem Abstand vom Massenmittelpunkt zur Kante. Befindet sich der Schwerpunkt der gesamten Figur über der Kante, wirkt auf beide Seiten das gleiche Moment, und das Gesamtdrehmoment des Systems ist Null. Bei einem Verbundobjekt kann das Gesamtdrehmoment für jede Fläche ermittelt werden, indem das Drehmoment aller Bauteile addiert wird. Daher können wir die ursprüngliche Aufgabe teilen und über sie entscheiden, wobei nur die Änderungen berücksichtigt werden, die auftreten, wenn ein neuer Block zu einem vorhandenen Stapel hinzugefügt wird, etwa wie die mathematische Induktion (nennen wir sie physikalische Induktion).

Man betrachte einen Stapel von n-1 Blöcken, von denen jeder eine Gewichtseinheit wiegt und eine Länge von einer Längeneinheit hat. Stapel balancierte am Rand des Tisches. Stellen Sie sich vor, dass die Sichtlinie entlang der Tischkante ausgerichtet ist und der Tisch links - dh die hängenden Enden der Blöcke stehen nach rechts vor. Da der Stapel an der Kante ausbalanciert ist, befindet sich der Massenmittelpunkt direkt über der Kante und sein Drehmoment ist Null. Stellen Sie sich nun vor, wir hätten den ganzen Stapel senkrecht angehoben und einen weiteren Block so unter den Stapel gelegt, dass seine rechte Kante mit der Tischkante abschließt. In der Praxis kann dies schwierig sein, aber in einem Gedankenexperiment ist es einfach.

Wir haben dem Stapel ein bisschen Stabilität hinzugefügt, indem wir den n-ten Block von unten hinzugefügt haben, da sich der Massenschwerpunkt des gesamten Stapels leicht nach links verschoben hat. Wir bezeichnen diesen Versatz x. n Blöcke wiegen n Einheiten, und sie haben ein Gesamtdrehmoment x * n um die Tischkante herum, das nach links zeigt. Es sei daran erinnert, dass in einem Stapel von n-1 Blöcken die Gesamtzeit gleich Null ist. Wir haben nur den Moment des neuen Blocks hinzugefügt - mit einer Masse von einer Masseneinheit und mit einem Abstand zum Massenmittelpunkt von der Tischkante zur Hälfte der Längeneinheit.

Es stellt sich heraus, dass x * n = 1/2 ist, was x = 1 / 2n bedeutet, wobei x der Abstand zum neuen Massenmittelpunkt von der Tischkante ist.

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Wenn Sie also den gesamten Stapel von n Blöcken um 1 / 2n Länge nach rechts verschieben, wird er am Rand perfekt ausbalanciert - und dies ist die maximal mögliche Verschiebung. Um die Konstruktion der Induktion abzuschließen, beachten wir, dass der maximale Überhang des ersten Blocks von der Tischkante 1/2 Längeneinheiten beträgt.

Daher ersetzen wir für fünf Blöcke in der Formel n für jede Ebene von 1 bis 5, um den maximalen Überhang zu erhalten:

x=1/2+1/4+1/6+1/8+1/10=137/120=1,141(6)

Es ist ersichtlich, dass, wenn Sie von oben beginnen und dann Blöcke hinzufügen, jede Verschiebung die Hälfte der umgekehrten Anzahl verfügbarer Blöcke ist. Solche Folgen von inversen Zahlen sind als harmonische Reihen bekannt. Eine solche Reihe divergiert langsam, und wenn n zur Unendlichkeit neigt, neigt sie auch zur Unendlichkeit.

Die allgemeine Summenformel für n Blöcke wird erhalten, indem alle Terme der Reihe summiert werden. Es stellt sich die Hälfte des n-ten harmonischen Begriffs heraus, der wie folgt geschrieben werden kann:

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Frage 2


Stellen Sie sich vor, Sie haben die gleichen fünf Blöcke, und Sie möchten eine Art Dekoration auf den obersten legen, an einem Punkt, der ein Viertel der Blocklänge vom hängenden Ende entfernt ist. Alle Blöcke wiegen eine Gewichtseinheit, und das Ornament wiegt ein Fünftel des Blocks. Wie lang ist der maximale Überhang? Wie ändert sich die Grundformel?

Zuerst betrachten wir den ersten Block, auf dem das Ornament steht und so liegt, dass seine rechte Kante mit der Tischkante abschließt. Der Massenschwerpunkt des Blocks ohne Verzierung liegt um die halbe Einheitslänge vom Tischrand entfernt. Die Verzierung wird um x nach rechts verschoben. Die Masse der Verzierung beträgt 1/5, und der Abstand vom neuen Massenmittelpunkt beträgt 1/4. Gleiche Momente und x = 1/5 * (1/4-x), also x = 1/24. Aufgrund der Verzierung ist es erforderlich, den ersten Block um 1/24 der Länge nach links zu verschieben. Daher ist der maximale Überhang jetzt 11/24 anstelle von 1/2.

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Für nachfolgende Blöcke können Sie dieselbe Induktion wie in der ersten Frage anwenden. Wir erhalten die Gleichung x (n + 1/5) = 1/2, die für n Blöcke auf 1/2 (n + 1/5) vereinfacht ist. Dies ergibt eine Folge von 1/24 + 5/12 + 5/22 + 5/32 + 5/42 ..., was zu einem maximalen Überhang von 1,057 für die fünfstufige Form führt. Beachten Sie, dass der Überhang des ersten Blocks aufgrund des zusätzlichen Gewichts der Verzierung nicht in das allgemeine Schema passt. Es erscheint jedoch eine einfache harmonische Folge, durch die die Endsumme leicht berechnet werden kann.

Frage 3


Stellen Sie sich vor, Sie konkurrieren mit einem Freund in einem Spiel, in dem Sie überhängende Strukturen erstellen müssen. Zuerst hast du einen Block. Sie platzieren Ihre Blöcke mit einem beliebigen Überhang vom Tischrand aus. Dann erhalten Sie eine zufällige, aber gleiche Anzahl zusätzlicher Blöcke von eins bis vier. Jede Runde beginnt mit dem Anfangssatz als Basis, dessen Position später nicht geändert werden kann, und mit einem zusätzlichen Satz von ein bis vier Blöcken. Wie viel müssen Sie den ursprünglichen Block an den Rand der Tabelle verschieben, damit nach einer großen Anzahl von Bewegungen der maximal mögliche Überhang erreicht wird?

Da die Wahrscheinlichkeit, zwei bis fünf Blöcke zu haben, gleich ist, müssen Sie den Betrag maximieren, der den maximalen Überhang für diese vier Fälle darstellt. Für einen Stapel von 2-5 Blöcken gibt es eine optimale Position des ersten Blocks, wodurch der maximale Überhang des gesamten Stapels erhalten wird. Wenn Sie in der Grafik den größten Überhang für jede der vier möglichen Größen des nächsten Stapels darstellen, erhalten Sie zwei Liniendiagramme und zwei Diagramme in Form eines umgekehrten V. Ihre Scheitelpunkte geben die optimale Anfangsposition des Anfangsblocks für Stapel von 3-4 Blöcken an. Die Graphen zusammenfassend erhalten wir den Gesamtüberhanggraphen, der die Richtung in jeder der vier optimalen Positionen drastisch ändert. Es stellt sich heraus, dass der beste Gesamtüberhang in der optimalen Position für die drei Blöcke erreicht wird, woraufhin der Graph nach unten geht. Daher müssen Sie den ursprünglichen Block in der Annahme haben

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Die Leser wiesen auf einige Einschränkungen hin, die das Übergehen dieser hypothetischen mathematischen Brücke ins Unendliche verbieten: Wind, Unebenheiten, mangelnde Genauigkeit, Elastizität oder unzureichende Härte der Blöcke und des Tisches usw. Das ist natürlich richtig. Hinzu kommt die Krümmung der Erde und das Fehlen eines unendlichen Raumes. Welche dieser Beschränkungen wird unseren Stack am schnellsten fixieren? Um diese Frage zu beantworten, ist es nützlich, nebenan zu studieren: Wenn Sie die Überhänge vom Rand aus vergessen und die Jenga-Blöcke einfach zusammenfalten, besteht keine mathematische Einschränkung für die Höhe des Turms. Seine kleinen Unvollkommenheiten in den Blöcken und Ungenauigkeiten in ihrer Konstruktion werden jedoch zusammenbrechen, und die Rolle des letzten Strohhalms wird durch Vibration oder Wind gespielt. Gleiches gilt für unsere baumelnde Figur. Wenn Sie alle diese Faktoren korrigieren, spielt die Steifigkeit der Blöcke irgendwann

Ich erwähnte, dass der größte Überhang erreicht werden kann, wenn mehrere Blöcke auf derselben Ebene verwendet werden. Wie mehrere Leser festgestellt haben, ist die optimale Lösung für dieses Problem in der 2009 veröffentlichten Arbeit " Maximum Overhang " [ Maximaler Überhang , von Paterson, Peres, Thorup, Winker und Zwick] beschrieben. Für mich ähneln kleine Konstruktionen, die nach der Paterson-Zwick-Methode hergestellt wurden, einem Eisvogel. Große sehen aus wie magische Lampen. Für einen Überhang von zwei Längeneinheiten sind diese Schemata 2-3 Mal effektiver als klassische harmonische Überhänge und erreichen einen solchen Überhang mit Hilfe von 14 statt 32 Blöcken. Leider ist ihre Mathematik für diesen Artikel zu kompliziert.

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