Die Theorie des Glücks Unfälle sind nicht zufällig?

    Ich werde Habrs Lesern weiterhin mit Kapiteln aus seinem Buch "The Theory of Happiness" mit dem Untertitel "Mathematische Grundlagen der Gesetze der Gemeinheit" vertraut machen. Dies ist noch kein populärwissenschaftliches Buch, das sehr informell erzählt, wie die Mathematik uns erlaubt, die Welt und das Leben von Menschen mit neuem Bewusstsein zu betrachten. Es ist für diejenigen, die sich für Wissenschaft interessieren, und für diejenigen, die sich für das Leben interessieren. Und da unser Leben komplex und im Großen und Ganzen unvorhersehbar ist, liegt der Schwerpunkt in diesem Buch hauptsächlich auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Hier sind Theoreme nicht bewiesen und die Grundlagen der Wissenschaft nicht gegeben, dies ist keineswegs ein Lehrbuch, sondern was Erholungswissenschaft genannt wird. Aber es ist dieser fast spielerische Ansatz, der es uns ermöglicht, Intuition zu entwickeln, mit anschaulichen Beispielvorlesungen für Studenten aufzuhellen und schließlich Nemathematikern und unseren Kindern zu erklären,



    In diesem Kapitel werden die Prädestination des Fluges einer Münze, topographische Karten, mathematische Katastrophen und die Art der Zufälligkeit diskutiert. Und auf dem Weg werden wir uns auf Bereiche der Mathematik wie die Maßtheorie und die Theorie des dynamischen Chaos konzentrieren.

    Das Reden über die Gesetze der Gemeinheit als eine Quelle des alltäglichen Aufruhrs beginnt oft mit dem berühmten Gesetz des Sandwichs . Es ist einfach formuliert, leicht zu überprüfen und weithin bekannt:
    Bei einem Sandwich fällt immer Butter ab.
    Es ist klar, dass das Wort "immer" hier übertrieben ist. Es ist leicht vorstellbar, unter welchen Bedingungen das Sandwich fällt und die gebutterte Seite unbeschädigt bleibt. Was verstehen die Menschen unter diesem Gesetz? Höchstwahrscheinlich lässt das Sandwich das Öl oft genug herunter, um es sichtbar zu machen. Kommt das ungünstige Ergebnis eines Sturzes jedoch häufiger vor als ein günstiges? Sandwiches sind unterschiedlich, sie fallen unter verschiedenen Umständen, aus verschiedenen Höhen ... Es gibt so viele Parameter, dass es keinen Sinn macht, über Muster in einer solchen Aufgabe zu sprechen. Alles kann passieren. Es kommt vor, dass Öl herunterfällt, dann wird es eine Schande, wir erinnern uns an das Gesetz und erinnern uns daran. Und wenn ein Sandwich uninteressant fällt - Butter, oder wenn es überhaupt keine Butter gab, dann gibt es nichts zu reden - es ist klar, dass das Gesetz komisch ist! Immerhin ist ein Sandwich wie eine Münze welche Mathematiker verwenden, um Zufallsvariablen mit zwei möglichen Werten zu erhalten: "Adler" und "Schwänze". Wenn die Münze „ehrlich“ ist, spielt es keine Rolle, welche Seite fallen soll, und wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwanz und ein Schwanz fallen, gleich und gleich ist.. Theoretisch sollten bei Sandwiches die Dinge gleich sein. Wir werden im nächsten Kapitel darauf zurückkommen, aber zunächst wollen wir uns das wahrscheinlichste einfache Wahrscheinlichkeitssystem - die Münze - näher anschauen.

    Eine Münze in theoretischen probabilistischen Experimenten wird auf besondere magische Weise geworfen, so dass die Wahl der Ausgangsposition, der Anfangsgeschwindigkeit und der Verdrehgeschwindigkeit beim Werfen die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses nicht beeinflusst. Aber das ist natürlich unmöglich! Eine Münze ist ein mechanisches System und folgt den Gesetzen der Mechanik, aber sie enthalten keine Zufallsvariablen. Die Zukunft in den Bewegungsgesetzen eines so einfachen Körpers wie einer Münze wird durch den vergangenen Zustand dieses Körpers eindeutig bestimmt. Wenn die Münze von einem Roboter oder einem Laplace-Dämon geworfen wird, einer mythischen Kreatur, die vollständige Informationen über die Koordinaten und Geschwindigkeiten eines mechanischen Systems besitzt, werden mit konstanten Anfangsdaten identische Ergebnisse erhalten. Wir sind natürlich keine Roboter und keine Dämonen,

    Und woher wird im Allgemeinen Zufälligkeit in der Welt durch die Gesetze der Mechanik beschrieben? Woher kommt die Zufälligkeit? Was ist der Unterschied zwischen wirklich chaotischen oder stochastischen Systemen, die im Grunde nicht vorhersagbar sind, und Systemen, bei denen es einfach ist, das Verhalten zu erraten, aber es kann berechnet werden?

    Das Münzproblem wurde 1986 von Joseph Keller geprüft. Wir werden eine einfache Erklärung für das Auftreten von Unsicherheiten in diesem Prozess geben, basierend auf den Überlegungen aus Kellers Artikel. Auf welche Seite die Münze fällt, hängt von der Flugzeit ab. und von der Winkelgeschwindigkeit . Wenn Sie die Winkelgeschwindigkeit in Umdrehungen pro Zeiteinheit messen, wird die Anzahl der von einer Münze ausgeführten Umdrehungen äußerst einfach ausgedrückt. Diese Abhängigkeit setzt die Linien gleicher Geschwindigkeit in Koordinatenund sie begrenzen wiederum die Bereiche, die einer geraden und einer ungeraden Anzahl von Windungen entsprechen.

    Diagramm, das die Parität der Anzahl Umdrehungen zeigt, die eine Münze im Flug ausführt. Das Rechteck zeigt den Bereich, in dem der Prozess des Wahrsagens einer Münze am häufigsten abläuft.

    Auf einer solchen Karte können Sie zeigen, wie das Ergebnis eines Münzumschlags, verdreht um eine bekannte Anzahl von Umdrehungen pro Sekunde und nach einer bekannten Umkehrzeit gefangen wird. Wenn wir in einen weißen Streifen fallen, fällt die gleiche Seite heraus, die beim Werfen oben war, wenn die orangefarbene Seite die Rückseite ist. Linien gleicher Geschwindigkeit sind Übertreibungen, und es ist ersichtlich, dass mit zunehmender Anzahl von Windungen der Wechsel von Bereichen immer häufiger wird und die Bereiche selbst dünner werden. Die menschliche Hand ist unvollkommen, und eine sehr kleine Variation der Anfangswerte überlappt viele Bereiche auf einmal, wodurch das Ergebnis unvorhersehbar wird. Im Bereich der Hand (das Rechteck im Diagramm) ist genügend Versatzvon weißen Streifen zu Orange springen. Es bleibt die Frage: Wie folgt aus dieser Konstruktion die „Ehrlichkeit“ einer echten mechanischen Münze? Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für herabfallende Köpfe und Schwänze aus dem resultierenden Diagramm ermitteln?

    Dringende Maßnahmen ergreifen!


    Lassen Sie uns ein bisschen in die Mathematik eintauchen, die wir nicht in der Schule durchlaufen, um besser zu verstehen, worüber wir sprechen. Wir haben in der Einleitung gesprochendass Mathematiker keine Zahlen oder geometrischen Formen studieren, wie es nach einem Schulkurs klingen mag. Sie arbeiten mit mathematischen Strukturen (abstrakte Algebren, Semirings, Felder, Monoide, topologische Räume und andere abstrakte Dinge), beschreiben sie, wie es scheint, völlig unverbunden an der Praxis, definieren sie, studieren ihre Eigenschaften, belegen Theoreme. Und dann verbessern sie ihre Fähigkeiten bei der Suche nach solchen Strukturen in den verschiedensten Wissensgebieten, was überraschend nützliche Durchbrüche auch in rein angewandten Branchen bringt. Wir werden uns jetzt ein wenig mit dieser Mathematik befassen und überlegen, wie die Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie aufgebaut wird, basierend auf einem sehr abstrakten Maßbegriff.

    Wir haben die Mechanik der Münze beschrieben und Regionen mit Lösungssätzen mit bestimmten Eigenschaften erhalten. Bereiche sind flache Zahlen, wie kann man richtig von Wahrscheinlichkeiten abweichen? Wir müssen unsere Gebiete messen und kommen natürlich in ihr Gebiet. Fläche - ist ein Maß für eine flache Figur. Dies ist ein exakter mathematischer Begriff für eine Funktion, die eine Menge nicht negativer Zahlenwerte verknüpft. Beispiele für Maße sind Mengen in zahllosen Mengen (z. B. Anzahl der Äpfel in einer Tasche) sowie Längen , Flächen und Volumen von Figuren .

    In der Mathematik gibt es einen ganzen Abschnitt, der als Maßtheorie bezeichnet wird. Diese Theorie wurde an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert (Emile Borel und Henri Lebesgue standen an der Quelle) geboren und eröffnete weitreichende Möglichkeiten für die Analyse sehr komplexer Objekte: Kantor- und Fraktalsätze. Sie bildete die Grundlage der Funktionsanalyse und der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie, deren Grundlage der bemerkenswerte russische Mathematiker Andrei Kolmogorov legte. Durch die Definition der Wahrscheinlichkeit als Maß können Sie alle grundlegenden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Mengen sehen.

    Unser Buch ist zwar kein Lehrbuch, aber es lohnt sich, ein wenig darüber nachzudenken, um die Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie sozusagen aus der Vogelperspektive zu betrachten und einen Vorgeschmack auf die Mathematik zu bekommen. Zunächst listen wir die grundlegenden Eigenschaften von any aufMaßnahmen. Um sich diese besser vorstellen zu können, können Sie anstelle des Wortes „Messen“ die Wörter „Menge“ oder „Länge“ oder „Quadrat“ verwenden.
    1. Das Maß der leeren Menge ist Null.
    2. Das Maß der gesamten messbaren Menge ist für endliche Maße endlich.
    3. Das Maß der Teilmenge überschreitet nicht das Maß der Menge
    4. Das Maß der Vereinigung zweier willkürlicher Mengen ist gleich der Summe der Maße dieser Mengen minus dem Maß ihrer Schnittmenge (Additivität).
    5. Das Maß des Komplements einer Teilmenge ist gleich der Differenz der Maße der gesamten Menge und des Maßes der Teilmenge.
    Kann eine nicht negative numerische Funktion ein Maß sein? Überhaupt nicht Das Alter stellt beispielsweise eine bestimmte Zahl in Übereinstimmung mit einer Person. Das Alter von zwei Personen kann jedoch nicht als Summe ihres Alters definiert werden. Die Laufgeschwindigkeit ist keine Maßnahme - zwei Personen laufen nicht doppelt so schnell. Aber der Impuls (Impuls) oder die Energie hat bereits die Eigenschaften eines Maßes. Das Gewicht, die Höhe des Geldes, die Menge an Wissen, die Lautstärke des Schreies, obwohl nicht immer leicht messbare Dinge, können vielen Menschen als Maß dienen.

    Auf der intuitiven Ebene ist der Begriff der Wahrscheinlichkeit jetzt praktisch alles bekannt. Es wird von Politikwissenschaftlern und Journalisten in einer Talkshow bewertet, es wird über die globale Erwärmung oder den Regen von morgen diskutiert, es werden Witze darüber erzählt:Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sich beim Tver-Dinosaurier zu treffen? - Eine Sekunde: Entweder ein Treffen oder nicht. In der modernen Mathematik wird der Begriff der Wahrscheinlichkeit als Maß auf einer speziellen Menge bezeichnet, die als probabilistischer Raum bezeichnet wird . Es umfasst sowohl Elementarereignisse als auch deren Kombinationen, die mithilfe von Verknüpfungs-, Schnitt- und Ausschlussoperationen abgerufen werden. Ein Beispiel für ein elementares Ereignis: "Der Verlust einer Troika beim Wurf". Ein Beispiel für ein Ereignis, das nicht elementar ist: "Der Verlust einer geraden Zahl außer zwei." Wir listen also die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit auf:
    1. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null.
    2. Die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Wahrscheinlichkeitsraum ist eins.
    3. Wenn ein Ereignis ein anderes beinhaltet, überschreitet die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses. Hier ist die Beziehung "beinhaltet" für Ereignisse gleichbedeutend mit "ist eine Teilmenge" für Mengen und bedeutet nicht "ist die Ursache".
    4. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von mindestens einem von zwei beliebigen Ereignissen ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse minus der Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse gleichzeitig auftreten.
    5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht auftritt, ist eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt.
    Schauen Sie sich die Eigenschaften von Kennzahlen und Wahrscheinlichkeiten genau an, und es wird deutlich, dass wir über dieselben Eigenschaften sprechen.

    Nicht alle Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit ergeben sich aus seiner Definition als Maßeinheiten: Der Begriff der Unabhängigkeit von Ereignissen und die Methode der gleichzeitigen Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehreren unabhängigen Ereignissen als Produkt von Wahrscheinlichkeiten werden durch die bedingte Wahrscheinlichkeit eingeführt , aber diese Begriffe stimmen mit der Kolmogorov-Definition überein.

    Diskrete Zufallsvariablen entsprechen endlichen abzählbaren Mengen, in denen ein natürliches Maß eine gewöhnliche Anzahl der Elemente ist. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum die kombinatorische Zählung von Varianten, die jedem Schüler vertraut sind. Für kontinuierliche Zufallsvariablen entspricht die Wahrscheinlichkeit als Maß eher der Länge oder Fläche, und hier sprechen wir über Wahrscheinlichkeitsdichten .

    Die Analogie der Wahrscheinlichkeit mit der Messung endet nicht dort. Was ist ein Mittelwert ? Dies ist analog zur Lage des Schwerpunkts einer Figur, die aus Punktmassen oder einem Festkörper mit bekannter Dichte besteht. Und diese Werte werden gleich berechnet. Und wie wird die Variation von Zufallsvariablen um den Durchschnitt charakterisiert: Varianz? Ebenso wie das Trägheitsmoment kennzeichnet die Massenverteilung um den Massenschwerpunkt. Wiederum stimmen die Formeln zum Berechnen der Varianz für eine Probe oder Verteilung mit den Formeln für das Trägheitsmoment einer Gruppe von Körpern oder eines festen Körpers einer listigen Form überein.

    Wenn wir die Summe in "Definitionen" und Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit durch "Maximum" und Produkt durch "Minimum" ersetzen, können wir übrigens eine alternative Theorie konstruieren, die als Theorie der Möglichkeiten bezeichnet wird. So funktioniert Mathe. Wir beginnen mit einer abstrakten Argumentation: Die Zahlen bilden eine Algebra mit Additions- und Multiplikationsoperationen. In einem begrenzten numerischen Intervall können wir jedoch eine ähnliche Algebra mit minimalen und maximalen Operationen konstruieren. Wir bauen das Konzept des Maßes auf einer neuen Algebra auf und stellen fest, dass es eine neue Sicht auf die Welt eröffnet! Im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitstheorie ist es in einer solchen Theorie möglich, zwei aufeinander abgestimmte Maße zu konstruieren - die Möglichkeit und die Notwendigkeit , und außerdem stimmen sie im Gegensatz zu der Wahrscheinlichkeit gut mit den Operationen der Vereinigung und der Überschneidung von Ereignissen überein. Diese vom amerikanischen Lotfi Zade, einem ursprünglich aserbaidschanischen Staatsangehörigen, geschaffene Richtung dient als Grundlage für die Fuzzy-Logik und wird in automatischen Mustererkennungs- und Entscheidungssystemen verwendet.

    Unglaublich, aber wahr!


    Die erste Eigenschaft von Maßnahmen scheint trivial zu sein, ist aber wegen ihrer Asymmetrie interessant. Wenn das Maß einer Teilmenge Null ist, bedeutet das nicht, dass es leer ist! Eine Linie ist beispielsweise eine Teilmenge von Punkten einer Ebene, aber ihre Fläche (Maß) ist Null. Es gibt auch exotischere Beispiele - Cantor- und Fraktalsätze, die eine komplexe Struktur haben, eine unendliche Anzahl von Punkten enthalten und einen bestimmten Bereich oder ein bestimmtes Volumen sichtbar "besetzen", aber dennoch ein Nullmaß haben.

    Einige Objekte des Nullmaßes: eine Linie in einer Ebene, eine sporadische Julia-Gruppe, der Menger-Fraktalschwamm.

    Bei der Vorbereitung dieser Illustration fand ich ein wunderbares Bild von einem nicht verbundenen Julia-Set auf einem transparenten Hintergrund mit hoher Auflösung. Nach dem Einfügen in den Vektor-Editor hatte ich eine amüsante Schwierigkeit - es war sehr schwierig, eine Maus zu diesem Bild zu bekommen, um es auszuwählen. Es ist so „locker“, dass die Wahrscheinlichkeit, das gefüllte Pixel zu treffen, merklich geringer war als der transparente Hintergrund. Im Wahrscheinlichkeitsraum können auch Teilmengen mit einem Zero-Maß vorhanden sein. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Ereignisse aus diesen Teilmengen nicht möglich sind. Vom vierten bis zum fünften Versuch konnte ich noch das Bild auswählen, da die Pixel eine endliche Größe haben. Aber was würde passieren, wenn ich ein wirklich inkohärentes Julia-Set mit unendlicher Auflösung zur Verfügung hätte?

    Stellen Sie sich vor, Sie verwenden einen Software-Zufallszahlengenerator, aus dem eine beliebige reelle Zahl erzeugt wird bis zu . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu löschen?? und zahlen oder ? In all diesen Fällen lautet die Antwort - Null! Vielmehr ist die kleinste positive Zahl, die dem Computer zur Verfügung steht, die sogenannte Epsilon-Maschine, da der Computer mit einer endlichen Anzahl von Dezimalstellen arbeitet. Warten Sie, sagen Sie, in welchem ​​Sinne - Null? Die gleichen Zahlen sind nicht unmöglich. Lassen Sie uns ein Experiment durchführen, als Ergebnis erhalten wir eine konkrete Zahl, und wenn wir sie bekommen, dann kann die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens nicht gleich Null sein. Das ist richtig, aber wie lange müssen Sie warten, bis genau 0 herausfällt? Fast unendlich! Tatsache ist, dass eine einzelne Zahl, wie ein Punkt in einem Intervall, einen Nullwert und eine ehrliche Nullwahrscheinlichkeit hat. Nur das Maß eines kontinuierlichen Segments, selbst eines sehr kleinen, ist ungleich Null. Wir sprechen also nicht über die Wahrscheinlichkeit, sondern über die Wahrscheinlichkeitsdichte. Wenn dies mit einem endlichen Maß einer Teilmenge in einem probabilistischen Raum multipliziert wird, ergibt dies einen endlichen Wert - die Wahrscheinlichkeit, in diese Teilmenge zu fallen. Übrigens, wenn wir einen perfekten Zufallszahlengenerator mit unendlicher Genauigkeit hätten, würde die Wahrscheinlichkeit, eine Art rationaler Zahl zu erhalten, hilfreich sein (es ist keine bestimmte Zahl, sondern eine beliebige Zahl), gleich Null. Der Beweis, dass rationale Zahlen eine dichte Teilmenge des Nullmaßes der Menge reeller Zahlen bilden, verursachte am Ende des 19. Jahrhunderts Lärm.

    Wenn jemand geduldig tausend Experimente mit einer Münze durchführt und Ihnen glücklich erzählt, dass er so viele "Adler" wie er "gelöst" hat, können Sie ihn zweifeln oder ihm mit seltenem Glück gratulieren. Zwar werfen wir eine Münze und einen diskreten Zufallsprozess, aber mit zunehmender Statistik wird die Wahrscheinlichkeit des Wahrscheinlichkeitsraums zunehmen und das Maß des Ereignisses: "Die Anzahl der Adler wird mit der Anzahl der Gitter zusammenfallen". Mit der Stirling-Formel kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit dieses "wahrscheinlichsten" Ereignisses mit zunehmender Anzahl von Versuchen gegen Null geht. Für Hunderte von Würfen sind das etwas mehr als fünf Prozent, für Zehntausende - nur ein halbes Prozent. In solchen Fällen sagen die Mathematiker: Die Anzahl der "Adler" wird mit großer Wahrscheinlichkeit nicht gleich der Anzahl der "Reshek" sein . So seltsam es auch klingen mag, „fast sicher“ ist ein exakter mathematischer Begriff, der besagt, dass ein Ereignis eine Ergänzung zu einer Untermenge eines Wahrscheinlichkeitsraums mit einem Null-Messwert ist. Wir werden in einem der folgenden Kapitel auf diese Überlegungen zurückkommen, wenn wir uns fragen: Wie viel kann jeder von uns für normal halten.

    Überprüfen Sie die Integrität einer echten Münze


    Kehren wir zur Münze und zu ihrer Ehrlichkeit zurück. Die Kolmogorov-Definition der Wahrscheinlichkeit hat ihre Häufigkeitsdefinition (als relative Häufigkeit der auftretenden Ereignisse) und die geometrische (als Bruchteil des "Volumens" des Ereignisses im Gesamt "Volumen" der Möglichkeiten) in Einklang gebracht. Der Anteil der Fläche der weißen Streifen auf der Karte, die für eine rotierende Münze berechnet wurde, spiegelt somit die Wahrscheinlichkeit wider, von der gleichen Seite, mit der wir sie gepflanzt haben, zu fallen.

    Aber die Mühe! Die Fläche jedes Streifens in unserem Diagramm ist unendlich (wenn wir das ganze Viertel der Koordinatenebene betrachten). Durch die Additivität der Messung können wir jedoch genau zeigen, dass die Bereiche der schattierten und weißen Bereiche nicht gleich sind. In expliziter Form sind die Gleichungen für unsere Kurven. Wenn der Bereich unter der Kurve gleich dann aufgrund der Eigenschaft der Additivität die Fläche unter der Kurve wird gleich sein . Für einzelne Streifen erhalten wir wiederum:. Es stellt sich heraus, dass der Flächenunterschied nicht von der "Anzahl" der Hyperbel abhängt. Dies ist nichts Besonderes im Zusammenhang mit Hyperbeln, die gleiche Schlussfolgerung kann für jede Kurve gemacht werdenwenn nur funktion war messbar. Und wenn ja, dann ist es für den gesamten Definitionsbereich ebenso wahrscheinlich, dass der weiße oder der schattierte Teil des Diagramms getroffen wird, wie dies für eine „ehrliche“ Münze erwartet wird.

    Die Argumente, die wir gerade geführt haben, scheinen einfach genug zu sein, aber sie liefern ein sehr allgemeines Ergebnis, das auf alle Zusatzmengen anwendbar ist. Der abstrakte Begriff des Maßes erlaubte es uns, unendliche Werte miteinander zu vergleichen und im Rahmen von Logik und gesundem Menschenverstand zu bleiben.

    Die Abstraktion ist gut, aber man kann argumentieren, dass wir in Wirklichkeit Münzen nicht mit allen möglichen Parametern werfen. Wie Versuche mit einer Hochgeschwindigkeitskamera gezeigt haben, fallen Winkelgeschwindigkeiten im Bereich von an bis zu Umdrehungen pro Sekunde und die Dauer des Fluges - von einer halben bis zu einer Sekunde. Dieser Bereich wird im Diagramm durch ein Rechteck hervorgehoben. Darin ist die Gesamtfläche der weißen Streifen etwas größer als die der orangefarbenen, und es kann gefolgert werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf die gleiche Seite trifft, zu der sie geworfen wurde.

    Im Jahr 2007 veröffentlichte eine Gruppe von Percy Diaconis und Koautoren aus Stanford einen Artikel , der eine detaillierte Analyse des Münzumkehrprozesses enthält. Eine detaillierte Beschreibung der Mechanik einer fliegenden und rotierenden Scheibe, die nicht nur rotiert, sondern auch präzisiert - die Rotationsachse dreht sich im Flug selbst - zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Adler von oben aus der Adlerposition von oben geworfen wird, ein Hundertstel mehr als die Hälfte ist.

    Ist es viel oder wenig? Wie viele Experimente sind nötig, um einen solchen Unterschied festzustellen? Mit der Akkumulation experimenteller Daten nimmt der Standardfehler des Mittelwerts, der den Fehler widerspiegelt, mit dem der Durchschnittswert berechnet werden kann, proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Tests ab:hier - Standardabweichung für die untersuchte Verteilung. In unserem Fall für die Bernoulli-Verteilung mit Wahrscheinlichkeitdas ist gleich . Um die Abweichung des Durchschnitts von einem Hundertstel sicher hervorzuheben, muss diese Abweichung überschritten werdenStandardabweichungen. So können wir die Anzahl der Tests abschätzen:

    So oft müssen Sie eine Münze werfen, um die mechanistische Vorbestimmung des Ergebnisses zu bemerken. Um zu verdeutlichen, was gemeint ist, werde ich ein Beispiel von zweihundert Versuchen einer idealen und etwas nicht idealen "Münze" geben, die mit dem Ziel durchgeführt wird, die Wahrscheinlichkeit des Verlusts eines Adlers zu berechnen. Jeder Test besteht aus"Wurf". Die Wörter "Münze" und "Werfen" werden zitiert, weil tatsächlich keine physische Münze verwendet wurde, sondern ein Zufallszahlengenerator, der der Bernoulli-Verteilung gehorcht.

    Experimentieren mit dem Aufklappen einer idealen und etwas nicht idealen Münze, um Nichtidealität zu bestimmen.

    Man sieht das erst nachDie Tests der "Wolke" der beobachteten Mittelwerte beginnen sich klar zu trennen. Für den Haushaltsgebrauch können wir davon ausgehen, dass die Münze ein guter Generator für die zufällige Auswahl von zwei gleich wahrscheinlichen Optionen ist.

    Touristisches Gesetz


    Die Äquivalenz der geometrischen und Häufigkeitsdefinition der Wahrscheinlichkeit offenbart das Rätsel eines Gesetzmäßigkeitsgesetzes, das unter Touristen, Geologen und all jenen bekannt ist, die topographische Karten verwenden:
    Der Ort, an den der Tourist geht, befindet sich meistens entweder auf der Falte der Karte oder am Rand des Blattes.
    Nehmen wir an, dass wir uns gleichermaßen für Objekte interessieren, die sich in allen Teilen der Karte befinden. Wir sind jedoch selten an Objekten mit einem Nullmaß interessiert - der gesamte Punkt der Verwendung der Karte ist die Überprüfung der Umgebung des Objekts, dh eines bestimmten Endbereichs. Ein kleiner Bruchteil genügt uns aus dem gesamten Kartenbereich um herauszufinden, wie man zum Objekt kommt. Wenn sich also ein Objekt einer kritischen Entfernung einer Biegung oder Kante nähertWir finden das Gesetz des Touristen erfüllt. Der Anteil der Grenzgebiete an der Gesamtfläche der Karte gibt uns die Chance, dieses Gesetz der Gemeinheit an uns selbst auszuprobieren. So sehen die unangenehmen Teile der Karte aus. und eine falte.

    Grau markierte "schlechte" Bereiche. Ein Abschnitt mit einem halben Prozentanteil für eine 40 cm breite Karte wird separat dargestellt und hat einen Durchmesser von etwas mehr als 3 cm.

    Für eine quadratische Karte. Unangenehme Streifen haben eine Fläche. Vier Fahrstreifen, zwei vertikal und zwei horizontal, befinden sich am Rand. Jede zusätzliche Kurve (horizontal oder vertikal) fügt einen weiteren Streifen hinzu. Zur gleichen Zeit fügen sich durchkreuzende Streifen zusätzliche Quadrate hinzu. Falte die Karte so, dass sie sich herausstellte horizontal und vertikale Biegungen, wir bekommen die Gesamtfläche der unangenehmen Zone gleich: . Wenn wir es auf das Gebiet der gesamten Karte bringen, bekommen wir einen unangenehmen Anteil an der Gesamtfläche:


    Die Abbildung zeigt die Bereiche, in denen dieser Anteil größer ist für verschiedene Bedeutungen .

    Bereiche, in denen eine erhöhte Wahrscheinlichkeit besteht, dass sich die Karte oder der Rand einer Karte neigt. Die Zahlen geben den Anteil der Fläche der betrachteten Nachbarschaft an der Fläche der gesamten Karte an.

    Es stellt sich heraus, dass die Karte, in der Hälfte gefaltet, zweimal bereits formal als unehrlich in Bezug auf den Touristen betrachtet werden kann. Meistens haben die Karten drei vertikale und drei horizontale Falten, wodurch es möglich ist, das Gesetz der Gemeinheit mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr zu erfüllen bei

    Woher kommt der Unfall?


    In den Souvenirläden finden Sie magnetische Pendel für die "Wahl der Wünsche". Sie sind auch mechanische Zufallsgeneratoren und werden fälschlicherweise als "chaotische Pendel" bezeichnet. Nachdem die Bewegung aus einer bestimmten Position und Geschwindigkeit gestartet wurde, führt das Pendel eine Reihe von "unvorhersehbaren" Schwingungen aus und stoppt schließlich in einem der Sektoren. Schwankungen sind hier jedoch nicht unvorhersehbar, sie reagieren nur sehr empfindlich auf die Ausgangsbedingungen. Für jeden Sektor, in dem das Pendel anhalten kann, gibt es im Bereich der Koordinatengeschwindigkeit einen Anziehungsbereich . Hierbei handelt es sich um eine Reihe solcher Anfangsbedingungen, unter denen das Pendel notwendigerweise zu einem bestimmten Punkt im angegebenen Sektor angezogen wird. Der Haltepunkt des Pendels wird Attraktor genannt- Anziehungspunkt. Im Falle eines Pendels aus einem Bild ist der Raum der Koordinaten und Geschwindigkeiten vierdimensional, so dass die Anziehungsbereiche einfach nicht dargestellt werden können. Wenn wir uns jedoch auf nur zwei Sektoren beschränken und die Aufgabe auf eindimensional reduzieren (ein solches Pendel wird als Duffing-Oszillator bezeichnet), wird der Raum der Anfangswerte zu einer Ebene, so dass die Anziehungsbereiche sichtbar werden. Sie sehen aus wie ein kompliziertes Yin-Yang-Symbol und verwandeln sich schnell in schmale Streifen, die Anziehungspunkte voneinander trennen.

    Die Anziehungsbereiche für Attraktoren für ein eindimensionales Pendel der Wünsche - der Duffing-Oszillator.

    Wie bei der Münze, die die Anfangsbedingungen leicht verlagert, gelangen wir von einem Attraktor zum anderen. Der Würfel und das Roulette wirken auf dieselbe Weise, sind jedoch keine Zufallsgeneratoren. Dies sind keine wirklich chaotischen Systeme und ihr Verhalten kann genau berechnet werden.

    Und was ist der wirkliche Unfall? Ein gutes Beispiel für ein wirklich stochastisches System ist das Auftreten von Autos auf der Straße. Die Menschen sind sich nicht einig, koordinieren ihre Pläne nicht, jedes Element des Ensembles außerhalb der Straße wirkt unabhängig. Und obwohl es bestimmte Verhaltensmuster von Menschen gibt - Spitzenzeiten am Morgen und Abend, leere Straßen in der Nacht usw. - wir haben nicht genug Informationen über jeden Teilnehmer der Bewegung und werden niemals über ausreichend Informationen verfügen, um die Erscheinung eines jeden von ihnen vorherzusagen. Stochastisch sind auch die Mechanismen der Elementarteilchen auf Quantenebene, der Zerfall instabiler Atome, Änderungen des genetischen Codes, offenbar Erdbeben und Notierungen von Wertpapieren an der Börse. Das einzige, was dem Forscher bleibt, ist, sie als Zufallsvariablen zu betrachten und sie in Wahrscheinlichkeitstheorie zu beschreiben.

    Es gibt aber noch eine andere Unfallquelle - dynamisches Chaos. Chaotische Systeme unterscheiden sich von Stochastik dadurch, dass sie durch exakte Gleichungen und Parameter beschrieben werden, die keine Zufälligkeit enthalten. Ihr Verhalten ist jedoch nicht nur kompliziert, sondern chaotisch und wirklich unvorhersehbar. Wenn wir anfangen, das Pendel der Wünsche sehr sorgfältig mit genau kontrollierter Frequenz und Amplitude zu oszillieren, werden wir feststellen, dass seine sanften Bewegungen für lange Zeit nicht berechnet werden können. Kein Algorithmus auf willkürlich genauen Rechenmaschinen kann das genaue Verhalten des Pendels für eine willkürlich entfernte Zukunft berechnen. Es wird nicht bei jedem Sektor anhalten, sondern weiche Bewegungen ausführen, aber niemals zweimal zum selben Punkt im Koordinatengeschwindigkeitsraum zurückkehren. Ein anderes Beispiel eines extrem einfachen chaotischen Systems ist ein idealer Ball, der in einem Schwerkraftfeld auf einem idealen Tisch mit einer Feder aufprallt.

    Die Theorie des dynamischen Chaos konnte die Natur dieser Unvorhersagbarkeit erklären. Das einfache eindimensionale Pendel der Wünsche, das wir betrachteten, hatte zwei stabile stationäre Punkte - zwei Attraktoren und einen instabilen, von denen das System zu fliehen versucht, es ist in einem weißen Kreis dargestellt. Im chaotischen Modus erscheinen im System anstelle einer Reihe von Attraktoren unendlich viele instabile stationäre Trajektorien. Diese Menge ist unendlich, hat aber kein Maß und repräsentiert eine sehr komplexe disjunkte Struktur. Einmal auf einer dieser Trajektorien ist es prinzipiell unmöglich, sie mit endlichen Algorithmen zu verfolgen. Das Erstaunlichste war jedoch, dass diese unendliche Anzahl instabiler Flugbahnen selbst anzieht!Das chaotische System springt kontinuierlich aus einer Umgebung einer instabilen Flugbahn zur anderen und bleibt dabei in diesem seltsamen Attraktor. Diese Sets heißen also seltsame Attraktoren . So wirkt der Abschnitt eines seltsamen Attraktors für ein Pendel von Wünschen, die harmonischen Schwingungen unterliegen, faszinierend schön. Dieses Objekt für ein eindimensionales Pendel kann im dreidimensionalen Raum (Koordinate, Geschwindigkeit, Phase der erzwungenen Schwingung) beschrieben werden. Wenn Sie den Attraktor in diesem Bereich mit einer Ebene schneiden, können Sie seine Struktur sehen. Dies wird als Poincare-Abschnitt bezeichnet . Jeder Punkt ist hier eine Spur der Flugbahn, und die Farbe der Punkte spiegelt die relative Geschwindigkeit wider, mit der die Flugbahnen voneinander abweichen. Hier sind ein paar schöne seltsame Attraktoren:


    Links: Poincare-Abschnitt für eine Ballflugbahn, der auf einem federbelasteten Tisch aufprallt. Die Menge von Punkten gehört zu der Oberfläche der Kugel, die dem Energieerhaltungssatz entspricht. Rechts: der Volumenbereich, der einen seltsamen Attraktor enthält, der mit erzwungenen Vibrationen einer dicken Platte entsteht.

    Die Laufruhe der chaotischen Flugbahn ermöglicht es Ihnen, noch ein bisschen in die Zukunft zu blicken. Dies erklärt eine ärgerliche Beobachtung: Einerseits können Wettervorhersagen das Wetter für eine Woche manchmal nicht zuverlässig vorhersagen, aber andererseits, wenn Sie sagen, dass morgen das gleiche Wetter wie heute sein wird, werden Sie sich in drei von vier Fällen nicht irren . Im Allgemeinen sind die Witze über Wettervorhersagen unfair, und wir müssen dem menschlichen Denken und der Beharrlichkeit Tribut zollen, was es uns ermöglichte, das Wetter auf dem gegenwärtigen Niveau vorherzusagen!

    Dynamisches Chaos ist als Theorie sehr komplex und schön, es erzeugt Bilder von erstaunlicher Eleganz, kann aber auch nützlich sein. Beispielsweise werden auch die Algorithmen bestimmt, mit denen Zufallszahlen in Computern generiert werden. Für die Beispiele in diesem Buch habe ich einen Pseudo-Zufallszahlengenerator verwendet, der nicht den eigentlichen stochastischen Prozess (Alpha-Zerfall oder das Zählen von Maschinen auf der Straße) gestartet hat, sondern die folgende "Zufallszahl" basierend auf den zuvor erhaltenen berechnet hat.

    Von Münzen zu Schmetterlingen und Schicksal


    Die Beobachtung, wie kleine Abweichungen zu globalen Veränderungen im System heranwachsen, führt zum Gedanken an den "Schmetterlingseffekt". Ich möchte Sie daran erinnern, dass dieser Effekt eine Kette weitreichender dramatischer Folgen von scheinbar unbedeutenden Ereignissen impliziert. Der von Forschern der Vergangenheit in der Geschichte von Ray Bradbury zerquetschte Schmetterling "Und Donner hat gekocht" führte zu einer radikalen Umstrukturierung der Zukunft. Und Edward Lorenz, der Schöpfer der Theorie des dynamischen Chaos, betitelte eine seiner Vorträge: "Kann das Klappen eines Schmetterlingsflügels in Brasilien einen Wirbelsturm in Texas verursachen?"

    Wir beziehen uns implizit auf diesen Effekt und beschweren uns: "Wenn ich nicht um die Ecke biegen würde, wäre alles anders!", "Wenn er nicht in diesen Zug steigen würde, gäbe es keine Katastrophe mit ihm!" Oder "Wegen solcher Kleinigkeiten haben sie gestritten und weg !! ”Aber wir sehen, dass eine wahrhaft stochastische Quantenwelt und ultrapräzise Atomuhren in der Welt nebeneinander existieren, stabile Hamiltonsche Systeme in der Welt der Sterne und Galaxien und das Chaos von Saturns Ringen oder Kuipers Gürtel, die thermische Bewegung von Molekülen und die erstaunliche Genauigkeit biologischer Systeme oder Fahrzeugmechanismen . Nein, die Schmetterlingsflügelklappe erzeugt keine Wirbelstürme, sondern verschwindet spurlos und erzeugt eine Kette von Wirbelstürmen, die Energie und Informationen in immer kleinere Wirbelstürme übertragen, solange weder Energie noch Informationen im Chaos der Schwankungen verschwinden. Es sollte klar sein, dass kleine Abweichungen nur zu einer radikalen Umstrukturierung des Systems führen.Verzweigungen oder Katastrophen - in der Sprache der Mathematik nennt man globale Umstrukturierung des Systems mit kleinen Änderungen der Parameter. Bifurkationen bilden im Parameterraum immer Mengen von Nullmaßen - das sind Punkte oder Grenzen. Kleine Störungen führen fast nicht überall zu Katastrophen (dies ist auch ein exakter Ausdruck für "überall außer in einem Nullmaß"), und instabile Zustände in der Natur werden selten beobachtet, ohne den "Test der Zeit" zu bestehen.

    Wenn das Ehepaar "wegen des Blödsinns" von ihr getrennt wurde, war sie auf jeden Fall dazu bestimmt, sich zu trennen, und es war instabil. Ständige Paare machen Kriege und Hungersnöte durch und lösen sich dann manchmal auf, nicht aufgrund von Kleinigkeiten, sondern aufgrund tiefgreifender Veränderungen, die einer Person im Leben passieren können. In der Kette von Ereignissen, die zum Absturz des Zuges geführt haben, ist es nicht einfach, das Schlüsselereignis (einen bestimmten Fehler oder einen tödlichen Unfall) herauszugreifen, und höchstwahrscheinlich ist der Schlüssel kein Ereignis, sondern ein systematischer Regelverstoß, der das System in einen instabilen Zustand versetzt. Wenn das System viele Parameter enthält und einige davon zufällig sind und unser Leben genau auf diese Weise angeordnet ist, gehen die Informationen in einem solchen System normalerweise verloren, und es ist unmöglich, zu einem bestimmten Zeitpunkt in unserem Leben "alles ist schief gelaufen". Quäle dich nicht mit Bedauern darüber, was passiert ist,

    In diesem Zusammenhang können wir uns an eines der Gesetze der Merphologie erinnern, das von einem bestimmten Dreyzen das Gesetz der Wiederherstellung genannt wurde :
    Die Zeit zur Verbesserung der Situation ist umgekehrt proportional zum Zeitpunkt ihrer Verschlechterung.
    Die folgende Beobachtung soll als Beispiel dienen: Es dauert länger, eine Vase zu kleben, als sie zu zerbrechen. Dieses Gesetz beschreibt überraschenderweise die Beziehung zwischen den charakteristischen Raten für den Relaxationsprozess eines stabilen Systems, die durch ein abnehmendes Exponentialgesetz beschrieben werden kann.und die Entwicklungsrate eines katastrophalen Prozesses in einem instabilen System in linearer Näherung - das exponentielle Wachstum einer kleinen Störung. Diese Geschwindigkeiten sind in der Tat umgekehrt proportional zueinander. Das Beispiel mit einer Vasa ist jedoch keine Entspannung - ein Übergang in den wahrscheinlichsten Zustand. Es ist näher an einem anderen Prozess - an der Selbstorganisation , dieser Prozess wird in erster Näherung durch ein logistisches Gesetz beschrieben und ist schneller zur Entspannung als zu einer Katastrophe.

    Typische nichtstationäre Prozesse: Katastrophe, Entspannung und Selbstorganisation mit derselben charakteristischen Zeit.



    Wenn ich im Schnee spazieren gehe, bin ich manchmal überrascht, dass mir die Schneeflocke auf die Nase fällt. Ich bin überrascht, dass die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses vernachlässigbar war. Wenn sie beurteilt wurde, wurde sie hoch am Himmel über dem Pazifischen Ozean geboren, kreiste in unberechenbaren, turbulenten Strömungen in einer Wolke und fiel stetig und wechselte die Bewegungsrichtung ... um an meine Nasenspitze zu gelangen! Und was für ein atemberaubender Weg gingen die Photonen von einem fernen Stern! Zehntausende von Jahren fegten sie durch das Universum, sie wurden nicht vom Staub absorbiert, dem sie keinen Asteroiden begegneten! Sie wurden in der Quantenwelt eines fernen Sterns geboren und landeten in der Quantenwelt des Proteins Opsin auf der Netzhaut in meinem Auge. Selbst wenn man die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bedenkt, ist es nicht sinnvoll, es ist gleich Null, aber ein Ereignis passiert, und ich sehe das flackernde Licht eines Sterns. Jetzt ist es klar, dass dies alles ist, weil der Bereich meiner Nase und sogar Moleküle ein Maß von Null haben.

    Philosophen können über die Vorbestimmung oder die Chance des Schicksals, über die Wahrheit oder Illusion unserer Naturkenntnisse streiten. Ich fordere den Leser auf, die Welt von der Höhe mathematischer Abstraktionen aus zu betrachten und ihre Schönheit und Konsistenz zu bewundern.

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