Fortsetzung des Problems der Süßigkeiten (oder auch des zentralen Grenzwertsatzes)

    Kürzlich veröffentlichte Viktorpanasiuk eine Aufgabe zu Süßigkeiten , die viele (insbesondere Koldyr veröffentlichte seine analytische Lösung zu Habré ), darunter auch mich , " begeisterte" . Die praktische Aufgabe des Konditoreningenieurs lautete wie folgt: „Ermitteln Sie die maximal zulässige Abweichung der Süßwarenmasse während der Herstellung, damit die aus n = 12 Teilen bestehende Netzschachtel in 90% der Fälle M = 310 ± 7 Gramm nicht überschreitet. Das Verbreitungsgesetz gilt als normal. "

    Der Autor löste das Problem auf der Grundlage der Annahme einer Normalverteilung von Süßigkeiten nach Masse und fand die durchschnittliche Masse von Süßigkeiten (offensichtlich gleich µ = M / n = 25,83 g) und die Standardabweichung σ = 1,23 g. die Erzeugung von N * n Zufallszahlen mit einer Gaußschen Verteilung von Süßigkeiten mit einem Mittelwert μ und einer Standardabweichung σ bestätigt die Richtigkeit der Lösung. Die Massenverteilung der Boxen ist Gaußsch und ihre Parameter liegen in der Nähe der analytisch ermittelten (Berechnungen in Mathcad Express in den Formaten MCDX und XPS sind beigefügt ). Das linke Diagramm zeigt ein Histogramm der Verteilungsdichte (nach Gewicht) von Süßigkeiten, und das rechte Diagramm zeigt die Verteilung von Kisten.



    Im Finale des zitierten Artikels erwähnt der Autor ein leicht verändertes (in der Praxis relevanteres) Problem der Bestimmung der Massengrenzen einer einzelnen Süßigkeit, über das hinaus diese (zu große oder zu kleine) Süßigkeit verworfen werden muss, damit die Schachteln die Anfangsbedingungen erfüllen (310 ± 7 g in 90) % der Fälle). Meiner Meinung nach enthält der ursprüngliche Artikel bereits eine Lösung, Sie müssen ihn nur aus einem etwas anderen Blickwinkel betrachten.

    Um den letzten Schritt in der Diskussion zu machen, erinnern wir uns noch einmal an den zentralen Grenzwertsatz (CLT), der wie folgt interpretiert werden kann (siehe zum Beispiel Wikipedia)) dass die Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen (mit demselben oder ungefähr demselben Durchschnitt und derselben Varianz) eine Verteilung nahe der Normalverteilung hat. Hinweis: Unter den Bedingungen des Theorems gibt es keine Annahmen über die Art der Verteilungen der ursprünglichen Zufallsvariablen! Die Statistik der Süßigkeiten kann also beliebig sein , und ihre Anzahl in der Box n = 12 reicht erfahrungsgemäß aus, um über die Normalisierung des Gesamtgewichts zu sprechen.

    Um sicherzustellen, dass die Masse der Schachtel normalisiert ist, wählen wir ein Modell für die gleichmäßige Verteilung der einzelnen Süßigkeiten nach Masse. Nachdem wir 12 unabhängige Pseudozufallszahlen addiert und dieses Berechnungsexperiment N-mal wiederholt haben, werden wir sehen, dass das Histogramm der Verteilungsdichte von Bonbonschachteln durch das Normalgesetz gut beschrieben wird (Grafik rechts), während die Verteilung von 12 Bonbons tatsächlich gleichmäßig ist (Grafik links). :



    Wenn die Zurückweisungsgrenze Pick zu groß und zu klein , so dass Schokolade Schokolade Gewichtsstandardabweichung die gleiche σ = 1,23 Gramm betrug, entsprechend der CLT, Dispersions - Box (n = 12 Menge an Süßigkeiten) wird der gewünschte Wert sein , σ 2 * n.

    Dies ist der gewünschte Algorithmus. Angenommen, wir haben eine Süßwarenmaschine, die auf die durchschnittliche Süßwarenmasse µ eingestellt ist. Dann können wir, indem wir den selektiven Wert der Varianz der Süßigkeiten steuern, das zulässige Intervall einschränken, außerhalb dessen die Süßigkeit zurückgewiesen wird. Unabhängig von der Art der Verteilung löst die Wahl eines solchen Intervalls, das eine Standardabweichung der Süßigkeitsmasse σ = 1,23 liefert, das Problem (aufgrund der Normalisierung des Gewichts der Schachtel aufgrund des Zentralheizungssystems).

    Jetzt auch beliebt: