Die Magie der Tensoralgebra: Teil 11 - Beschleunigung eines Körperpunktes in freier Bewegung. Winkelbeschleunigung eines Festkörpers

    Inhalt


    1. Was ist ein Tensor und warum wird er benötigt?
    2. Vektor- und Tensoroperationen. Tensor-Ränge
    3. Krummlinige Koordinaten
    4. Die Dynamik eines Punktes in der Tensor-Exposition
    5. Einwirkungen auf Tensoren und einige andere theoretische Fragen
    6. Kinematik eines freien Feststoffs. Die Art der Winkelgeschwindigkeit
    7. Die endgültige Drehung eines Festkörpers. Eigenschaften des Rotationstensors und Berechnungsmethode
    8. Auf Windungen des Levi-Civita-Tensors
    9. Die Ableitung des Winkelgeschwindigkeitstensors durch die Parameter der Enddrehung. Tragen Sie den Kopf und Maxima auf
    10. Wir erhalten den Winkelgeschwindigkeitsvektor. Arbeiten an Mängeln
    11. Beschleunigung eines Körperpunktes bei freier Bewegung. Winkelbeschleunigung eines Festkörpers
    12. Rodrigue Hamilton-Parameter in der Festkörperkinematik
    13. SKA Maxima bei Transformationsproblemen von Tensorausdrücken. Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung in den Parametern von Rodrigue Hamilton
    14. Nicht standardisierte Einführung in die Dynamik eines starren Körpers
    15. Nicht freie Festkörperbewegung
    16. Eigenschaften des Trägheitstensors eines Festkörpers
    17. Skizze einer Nuss Janibekova
    18. Mathematische Modellierung des Janibekov-Effekts


    Einleitung


    Heute werden wir die Konstruktion von Tensorbeziehungen vervollständigen, die die Kinematik eines freien starren Körpers beschreiben. Es kam vor, dass wir über eine größere Anzahl von Artikeln einen Teil des Grundkurses in theoretischer Mechanik neu aufgebaut haben. Diese Konstruktionen sind trotz einiger Abstraktheit sowohl vom methodischen Standpunkt als auch vom Standpunkt der Mechanik aus nützlich. Der Tensoransatz zeigt wie ein Skalpell die wahre Natur der Konzepte, an die wir gewöhnt sind, wie die Bewegungsgesetze der materiellen Körper, die Geschwindigkeit ihrer Punkte. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung. Hier geht es heute um Winkelbeschleunigung.

    Wir tauchen tiefer in die mathematische Matrix ein ...


    1. Beschleunigung des Punktes des Körpers, der sich frei bewegt. Winkelbeschleunigung tritt in die Szene ein


    В статье, посвященной тензорному описанию кинематики твердого тела мы получили, что компоненты скорости точки тела, совершающего свободное движение в связанной системе координат определяются соотношением

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    где Bild — компоненты вектора скорости полюса в связанной системе координат; Bild — тензор угловой скорости. Верхний индекс в скобках означает, что компоненты этого тензора представлены в связанной системе координат.

    Чтобы получить ускорение, во-первых, перейдем в базовую систему координат — дифференцирование в ней будет выполнять намного проще. Но так как преобразование поворота задано у нас для контравариантных компонент векторов, прежде всего поднимем индексы в (1)

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    а уже потом, применим к (2) прямое преобразование поворота

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    und nun differentiate (3) in Bezug auf Zeit und erhält Expression der kontra Komponenten des Beschleunigungskörper Punktes ,

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    wo Bild- die kontravarianten Komponenten des Beschleunigungs Pols in dem Basiskoordinatensystem

    der Ergebnisse erreichen die von zu interpretieren , was begann Weise - mit dem damit verbundenen Koordinatensystem und kovarianten Komponenten

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    letzter Ausdruck in der Kette von Transformationen umfassen der Faktor

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    ist der Winkelgeschwindigkeitstensor, daher

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    die invarianten Komponenten der Beschleunigung des Punktes M eines starren Körpers in freier Bewegung. Nun werden wir versuchen, die Bedeutung der Beschleunigungskomponenten zu verstehen (5). Zunächst betrachten wir den letzten Term, den Winkelgeschwindigkeitstensor, mit dem Sie durch den Winkelgeschwindigkeitspseudovektor malen können

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    und es ist ziemlich offensichtlich, dass die Ableitung des Winkelgeschwindigkeitstensors durch einen Pseudovektor dargestellt wird, der Bildgleich der zeitlichen Ableitung des Winkelgeschwindigkeitspseudovektors

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    ist. Aus dem Verlauf der theoretischen Mechanik ist bekannt, dass die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit die Winkelbeschleunigung des Körpers genannt wird. Daher ist (7) die Winkelbeschleunigung. Normalerweise wird die Winkelbeschleunigung durch einen anderen Buchstaben angegeben, der wie in der LaTeX-Notation geschrieben ist \varepsilon. Diese Bezeichnung wurde jedoch vom Levi-Civita-Tensor „weggezogen“, sodass wir ein Symbol verwenden \epsilon, das nicht sehr beeindruckend aussieht, aber unser Bezeichnungssystem aufgrund einer solchen Kleinigkeit nicht ändert?

    Basierend auf dem Vorstehenden schließen wir, dass die Zeitableitung des Winkelgeschwindigkeitstensors der antisymmetrische Winkelbeschleunigungstensor ist

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    zu bezeichnen, an welche wir einen \xistilistisch erinnernden Brief nehmen \varepsilon. Basierend auf (8) ist der letzte Term (5) äquivalent zu

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    oder in Vektorform,

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    wo sie Bildals Rotationsbeschleunigung eines Körperpunktes bezeichnet werden .

    Nun wenden wir uns dem zweiten Term zu (5). Darin schreiben wir den Winkelgeschwindigkeitstensor durch einen Pseudovektor, Bild

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    hier sehen wir ein Doppelvektorprodukt. In der Tat ist die

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    kontravariante Darstellung des Geschwindigkeitsvektors des Punktes M relativ zum Pol, der an der nachfolgenden Vektormultiplikation mit der Winkelgeschwindigkeit auf der linken Seite beteiligt ist. Das heißt, der zweite Term ist die starke Beschleunigung eines Körperpunktes

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    so haben wir die formel aus der theoretischen mechanik kennengelernt

    Die Beschleunigung eines Körperpunktes während der freien Bewegung ist gleich der geometrischen Summe der Beschleunigung des Pols, der Rotationsbeschleunigung des Punktes um den Pol und der Heckbeschleunigung des Punktes um den Pol

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    Und schließlich kann der erste Term in (5) in Form der krummlinigen Koordinaten des Pols geschrieben werden, wie es in dem Artikel über die Kinematik und Dynamik des Materialpunkts getan wurde ,

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    und wir erhalten in der allgemeinsten Form die Beschleunigung eines Körperpunkts mit freier Bewegungsbeschleunigung

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    (10) in einem eigenen (mit dem Körper verbundenen) Koordinatensystem. Dieser Ausdruck ist allgemeiner Natur, und der Ansatz, mit dem wir zu ihm gekommen sind, ermöglicht es uns, die wahre Natur und die Beziehung zwischen den kinematischen Parametern der Bewegung, die uns vertraut sind, herauszufinden. Dies ist der theoretische Wert (10).

    Der praktische Wert der erhaltenen Formel ist so, dass wir einen Schritt näher zum Erhalten von Bewegungsgleichungen eines starren Körpers in verallgemeinerten Koordinaten kommen.

    2. Der formale Ausdruck zur Berechnung der Winkelbeschleunigung durch den Rotationstensor


    Wir berechnen zunächst den Winkelbeschleunigungstensor und

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    bestimmen den Winkelbeschleunigungstensor auch durch die zweite Ableitung des Rotationstensors. Andererseits können wir unter Verwendung der Definition des Winkelbeschleunigungstensors (6) den Ausdruck für den Pseudovektor der Winkelbeschleunigung erhalten. Wenn wir

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    (12) in (11) einsetzen, erhalten wir schließlich den

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    Ausdruck (13), der spektakulär aussieht und zum Beispiel verwendet werden kann die Projektion der Winkelbeschleunigung auf die eigene Achse durch die Orientierungswinkel des Festkörpers (Euler, Krylov, Flugzeugwinkel usw.) auszudrücken. Aber zum größten Teil ist es theoretischer Natur - ja, schauen Sie, wie die Winkelbeschleunigung mit der Rotationsmatrix zusammenhängt.

    Wenn wir versuchen, mit (13) einen Pseudovektor der Winkelbeschleunigung durch die Parameter der Enddrehung zu erhalten, kann dieser Pfad kaum als optimal bezeichnet werden. Erinnern Sie sich, wie viel wir mit dem Winkelgeschwindigkeitstensor getragen haben ? Das war's Und hier kann man prinzipiell auf SKA verzichten , es genügt, sich der Formel (7) und dem Material des Artikels auf dem Pseudovektor der Winkelgeschwindigkeit zuzuwenden

    3. Der Pseudovektor der Winkelbeschleunigung in den Parametern der endgültigen Drehung



    Nach (7) brauchen wir nur den Pseudovektor der Winkelgeschwindigkeit zu differenzieren, der sich in den endgültigen Rotationsparametern wie folgt ausdrückt,

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    und wir erhalten die Winkelbeschleunigung. Dies kann manuell erfolgen,

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    Ausdruck (15) kann leicht vereinfacht werden. Erstens ist sein zweiter Term gleich Null, da er die Faltung des Levi-Civita-Tensors mit demselben Vektor in zwei Indizes enthält, was äquivalent ist Bild. Zweitens können wir ähnliche Terme angeben und erhalten den endgültigen Ausdruck

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    . Mit (8) aus (16) können wir nun auch zum Winkelbeschleunigungstensor übergehen, aber wir werden dies nicht tun. Die Aktionen, die ausgeführt werden müssen, sind trivial, der resultierende Ausdruck ist ziemlich umständlich. Für die Praxis reichen für uns die Formeln (16) aus.

    Ändert die Drehachse nicht die Richtung, so verschwinden die Ableitungen des Einheitsvektors der Drehachse. Dies ist beim Drehen um eine feste Achse und bei planparalleler Bewegung möglich. Dann sieht der Winkelbeschleunigungsvektor trivial aus,

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    was die Definition des Winkelbeschleunigungsvektors ergibt, mit dem Lehrer des Theorems (einschließlich ich) Schüler behandeln. Darüber hinaus zeigt die letzte Formel deutlich, dass die Richtung dieses Vektors direkt von der Orientierung der Basis des Koordinatensystems und damit der positiven Drehrichtung in diesem abhängt. Dies wird durch die Tatsache gut veranschaulicht, dass der Winkelbeschleunigungsvektor ein Pseudovektor ist.

    Schlussfolgerungen



    Die Formeln (10), (14) und (16) sind die letzten Relationen, die die Konstruktion der Kinematik eines Festkörpers in willkürlichen Koordinaten schließen. Wir haben einen langen Weg zurückgelegt - mit dem Tensor-Kalkül haben wir die gesamte Kinematik eines Festkörpers rekonstruiert.

    Wir haben uns aber nicht mit der Hauptsache befasst - wie ist es praktisch, die Position des Körpers im Raum festzulegen, welche Parameter zu wählen? Wie können diese Parameter mit den kinematischen Eigenschaften der Bewegung eines starren Körpers in Beziehung gesetzt werden?

    Es scheint, was sind die Parameter der letzten Runde? Sie sind insofern schlecht, als sie degenerieren, wenn der Drehwinkel Null ist. Denken Sie daran, wie der Rotationstensor eingestellt ist.

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    Wenn Sie den Rotationswinkel in diesem Ausdruck auf Null setzen , gelangen Sie zum Ausdruck

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    Wir haben herausgefunden, dass der Rotationstensor durch die Identitätsmatrix dargestellt wird. Was ist daran falsch, es gibt keine Wende, eine identische Transformation? Das Schlimme ist, dass es unmöglich ist, die Komponenten des Einheitsvektors der Rotationsachse von einem solchen Rotationstensor zu erhalten. Bei der Integration dynamischer Bewegungsgleichungen führt ein solcher Fokus zum Zusammenbruch des numerischen Verfahrens.

    Um Modellierungssysteme zu erstellen, müssen Parameter verwendet werden, die nicht entartet sind. Dazu gehören die Komponenten des Rotationstensors selbst, von denen es neun gibt. Plus drei Polkoordinaten. Insgesamt - 12 Parameter, die die Position des Körpers im Raum charakterisieren. Und die Anzahl der Freiheitsgrade eines Festkörpers beträgt sechs. Somit sind die sechs Komponenten des Rotationstensors abhängige Größen, was die Ordnung des Bewegungsgleichungssystems genau zweimal aufbläst.

    Aufgrund dieser Überlegung sind die Parameter der letzten Runde günstiger - es gibt vier davon. Und es gibt nur eine Verbindungsgleichung,

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    und wenn es nicht für die Entartung wäre, Bildkönnten sie verwendet werden.

    Nicht entartete Parameter, die zur Beschreibung der Orientierung eines starren Körpers im Raum verwendet werden können, stehen jedoch in direktem Zusammenhang mit den Parametern der endgültigen Drehung. Dies sind die Parameter von Rodrigue Hamilton, die wir im nächsten Artikel diskutieren werden.

    Danksagung


    Bei der Vorbereitung dieses Artikels verwendeten wir eine vom Benutzer parpalak erstellte Ressource , um die Formeln einzugeben . In diesem Zusammenhang möchte ich ihm dafür danken, dass er einen so nützlichen Service geschaffen und unterstützt hat.

    Nun, traditionell danke für die Aufmerksamkeit Ihrer Leser!

    Fortsetzung folgt...

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