Geschichte und Zukunft der Besonderheiten

Ursprünglicher Autor: Stephen Wolfram
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Übersetzung des Artikels von Stephen Wolfram, Die Geschichte und Zukunft von Sonderfunktionen .
Ich bedanke mich bei Kirill Guzenko für die Hilfe bei der Übersetzung.


Der Artikel ist eine Aufzeichnung einer Rede, die auf der Wolfram Technology Conference 2005 in Champaign, Illinois, im Rahmen einer Veranstaltung zu Ehren von Oleg Marichevs 60. Geburtstag gehalten wurde .

Nun möchte ich auf das Thema zurückkommen, das ich heute Morgen angesprochen habe. Ich möchte über die Vergangenheit und Zukunft spezieller Funktionen sprechen. Spezielle Funktionen sind seit mindestens 30 Jahren das Thema meiner Leidenschaft. Und ich glaube, meine Arbeit hat maßgeblich dazu beigetragen, die Nutzung von Sonderfunktionen zu fördern. Es kam jedoch vor, dass ich dieses Thema noch nie angesprochen hatte. Jetzt ist es Zeit, es zu beheben.

Auszug aus der mathematischen Enzyklopädie (herausgegeben von I. M. Winogradow)
SONDERFUNKTIONEN - im weiteren Sinne die Gesamtheit der einzelnen Funktionsklassen, die sich bei der Lösung sowohl theoretischer als auch angewandter Probleme in verschiedenen Bereichen der Mathematik ergeben.

Im engeren Sinne unter S. f. meine S. f. Mathe Physiker, die beim Lösen von Differentialgleichungen mit partiellen Ableitungen nach der Methode der Variablentrennung auftreten.

S. f. kann unter Verwendung von Potenzreihen, Erzeugungsfunktionen, unendlichen Produkten, sequentieller Differenzierung, integralen Darstellungen, Differential-, Differenz-, Integral- und Funktionsgleichungen, trigonometrischen Reihen, orthogonalen Reihen bestimmt werden.

Zu den wichtigsten Klassen von S. f. Dazu gehören Gamma- und Betafunktion, hypergeometrische Funktion und degenerierte hypergeometrische Funktion, Bessel-Funktionen, Legendre-Funktionen, parabolische Zylinderfunktionen, integraler Sinus, integraler Cosinus, unvollständige Gammafunktion, Wahrscheinlichkeitsintegral, verschiedene Klassen orthogonaler Polynome einer und vieler Variablen, elliptisch Funktion und elliptisches Integral, Lame-Funktionen und Matye-Funktionen, Riemannsche Zeta-Funktion, automorphe Funktion, einige S. f. diskretes Argument.

Theorie S. f. verbunden mit der Repräsentation von Gruppen, Methoden der integralen Repräsentation basierend auf einer Verallgemeinerung von Rodrigues Formel für klassische orthogonale Polynome und Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Für S. f. Es gibt Wertetabellen sowie Integral- und Serientabellen.

Die Geschichte vieler Konzepte und Objekte der Mathematik kann bis in die Zeit des alten Babylon zurückverfolgt werden. Tatsächlich wurde bereits vor 4000 Jahren in Babylon eine 60-Dezimal-Arithmetik mit verschiedenen komplexen Operationen entwickelt und aktiv eingesetzt.

Zu dieser Zeit galten Additions- und Subtraktionsoperationen als recht einfach. Dies galt jedoch nicht für Multiplikations- und Divisionsoperationen. Und um solche Aktionen durchzuführen, wurden einige Ähnlichkeiten von Sonderfunktionen entwickelt.

Tatsächlich wurde die Division darauf reduziert, inverse Werte zu addieren und zu subtrahieren. Und eine Multiplikation auf eine ziemlich raffinierte Weise lief darauf hinaus, Quadrate zu addieren und zu subtrahieren.

So kam es bei fast jeder Berechnung darauf an, mit Tabellen zu arbeiten. Und natürlich hatten Archäologen die Möglichkeit, babylonische Tontafeln mit Tabellen mit umgekehrten Werten und Quadraten zu finden.

Das heißt, die Babylonier hatten bereits die Idee, dass es einige mathematische oder rechnerische Arbeiten gibt, die wiederholt verwendet werden können und sehr nützliche Ergebnisse liefern.

Und die Geschichte der Sonderfunktionen beginnt zum Teil mit der Entdeckung der Prinzipien der Arbeit mit Sequenzen aus diesen „Stücken“.

Die folgenden "Stücke" enthielten wahrscheinlich die Trigonometrie. Ägyptischer Papyrus Rinda 1650 v Es gab bereits einige Probleme bezüglich der Pyramiden, deren Lösung eine Trigonometrie erforderte. Erwähnenswert ist, dass eine babylonische Tafel mit einem Seance-Tisch gefunden wurde.

Astronomen jener Zeit mit ihrem Epizyklenmodell nutzten natürlich die Trigonometrie bereits in vollem Gange. Alle mathematischen Operationen liefen darauf hinaus, mit einer kleinen Anzahl von „Sonderfunktionen“ zu arbeiten.

Viel Aufmerksamkeit wurde dem geschenkt, was sie Akkorde und Bögen nannten. Hier ist ein Bild.



Es gibt zwei Einheitskreisradien mit einem bestimmten Winkel zwischen ihnen. Wie lang ist der Akkord zwischen ihnen? Nun zeigen wir den Winkel der Sehnenlänge als Funktion des Sinus des Winkels an.

Und hier ist das umgekehrte Problem: Für eine bestimmte Sehnenlänge - wie groß wird der Winkel sein? Zweifellos nennen wir es jetzt den Arkussinus.

Griechische Astronomen nahmen diese Akkorde und Bögen sehr ernst. Der Ptolemaios Almagest ist voll davon. Und sie sagen, um 140 v Hipparchus hat 12 Bände mit Akkordtabellen gesammelt.

Nun, Ideen zur Trigonometrie verbreiteten sich in Babylon und Griechenland. Die Trigonometrie erlangte schnell verschiedene Standards und Regeln. Hipparchus hat bereits von den Babyloniern die Idee eines 360-Grad-Kreises übernommen.

Und aus dem indischen Wort "Akkord", das wörtlich ins Arabische und dann fälschlicherweise ins Lateinische übersetzt wurde, tauchte das Wort "Sinus" auf. Es war im 12. Jahrhundert und zu Beginn des 13. Jahrhunderts begann Fibonacci, es aktiv zu nutzen.

Im 14. Jahrhundert verbreitete sich die Trigonometrie. Und Mitte des 16. Jahrhunderts spielte sie eine äußerst wichtige Rolle in der Arbeit von Copernicus - De Revolutionibus . Diese Arbeit wurde für diejenigen, die mit mathematischen Funktionen arbeiteten, für lange Zeit zu einer grundlegenden Aufgabe.

Zu diesem Zeitpunkt erhielt die Trigonometrie fast vollständig ihr modernes Aussehen. Natürlich gibt es einige signifikante Unterschiede. Zum Beispiel die ständige Verwendung von versinus. Hat jemand davon gehört? Dies ist im Wesentlichen 1 - Cos [x]. Sie finden es in trigonometrischen Tabellen, die bis vor kurzem veröffentlicht wurden. Ein paar zusätzliche Rechenoperationen sind jetzt jedoch überhaupt kein Problem mehr, weshalb Sie nicht mehr über diese Funktion sprechen sollten.

Nun, nach der Trigonometrie waren die Logarithmen der nächste große Durchbruch. Sie erschienen 1614.



Dies war eine Möglichkeit, Multiplikation und Division auf Additions- und Subtraktionsoperationen zu reduzieren.

Im Laufe der Jahre sind viele Tabellen mit Logarithmen erschienen. Die Verwendung von Tabellen ist in der Tat zum allgegenwärtigen Standard geworden, der seit mehr als dreihundert Jahren besteht.

Es dauerte mehrere Jahre, bis der natürliche Logarithmus und Exponent ihre moderne Form gefunden hatten. Mitte des 17. Jahrhunderts tauchten jedoch alle uns bekannten Grundfunktionen auf. Und seitdem sind sie bis heute die einzigen expliziten mathematischen Funktionen, über die die meisten Menschen jemals Bescheid wissen werden.

Nun, es stellt sich heraus, dass die Infinitesimalrechnung Ende des 17. Jahrhunderts erschien. Und dies ist die Zeit, ab der spezielle Funktionen in der modernen Darstellung zu erscheinen begannen. Viele von ihnen erschienen früh genug.

Irgendwann im 18. Jahrhundert brachte einer von Bernoulli die Idee vor, dass das Integral einer Elementarfunktion möglicherweise auch eine Elementarfunktion sein wird. Leibniz dachte , dass er ein Gegenbeispiel hatte: . Dieser Ausdruck war jedoch nicht so. Seit einigen Jahren wird aktiv über elliptische Integrale diskutiert . Zumindest serienmäßig. Und so wurden die Funktionen von Bessel entdeckt .

Und in den zwanziger Jahren des 18. Jahrhunderts hatte Euler gerade begonnen, sich in die Welt des Rechnens zu stürzen. Und er schrieb über viele unserer Standard-Besonderheiten.

Er entdeckte die Gammafunktion als Entwicklung der Fakultätsidee . Er definierte die Funktionen von Bessel in einigen Anwendungen;Elliptische Integrale führten die Zeta-Funktion ein und untersuchten Polylogarithmen .

Normalerweise gab er Funktionen keine spezifischen Namen.

Aber nach und nach wurden immer mehr Funktionen, über die er schrieb, von verschiedenen Leuten benutzt. Oftmals erhielten sie nach einer gewissen Nutzungsdauer bereits bestimmte Bezeichnungen und Namen.

Es gab mehrere Aktivitätsschübe beim Auftreten von Sonderfunktionen. Ende des 18. Jahrhunderts gab es potentielle Theorie und Himmelsmechanik. Und zum Beispiel die Funktionen von Legendre- die lange Zeit Laplace-Funktionen hießen - tauchte um 1780 auf. Die komplexe Analyse wurde in den 1820er Jahren populär und es erschienen verschiedene Funktionen mit zwei Perioden. Es kann nicht gesagt werden, dass zu dieser Zeit die Kommunikation zwischen Menschen in diesem Bereich gut etabliert war. Am Ende tauchten also verschiedene inkompatible Notationen für die gleichen Konzepte auf. Die damals aufgetretenen Probleme sind bis heute relevant und rufen häufig den Mathematica- Support auf .

Einige Jahre später gewann die harmonische Analyse an Dynamik und führte zu verschiedenen orthogonalen Polynomen - Hermite, Leigra und so weiter.

Nun, schon zu Beginn des 19. Jahrhunderts war klar, dass ein ganzer „Zoo“ von Sonderfunktionen auftauchte. Und das ließ Gauß darüber nachdenken, wie er alles zusammensetzen sollte.

Er untersuchte die hypergeometrischen Reihen, die tatsächlich bereits in den 1650er Jahren von Wallis eröffnet und ihm zu Ehren benannt wurden. Und er bemerkte, dass die Funktion ( die hypergeometrische Gauß-Funktion ) tatsächlich viele bekannte Sonderfunktionen abdeckt.

Vor allem in Deutschland wurde ab Mitte des 19. Jahrhunderts besonderen Funktionen viel Aufmerksamkeit geschenkt. Zu dieser Zeit erschien eine Menge Literatur zu diesem Thema. Als Maxwell in den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts seine Arbeiten zur elektromagnetischen Theorie verfasste, musste er sich daher nicht viel mit dem mathematischen Apparat für spezielle Funktionen befassen; Es gab bereits eine Menge Literatur, auf die verwiesen werden konnte.

Neben rein wissenschaftlichen Arbeiten, die die Eigenschaften von Funktionen beschreiben, wurden auch Tabellen mit ihren Werten erstellt. Manchmal Menschen, von denen niemand etwas gehört hat. Und manchmal sehr berühmt - einschließlich Jacobi, Airy, Maxwell.

Lange vor dem Ende des 19. Jahrhunderts sind also fast alle Sonderfunktionen, mit denen wir uns heute befassen, bereits geschaffen worden. Aber es gab noch andere. Hat zum Beispiel jemand gehört, was Gudermanian ist?? Ich erinnere mich, wie ich ihn in Nachschlagewerken kennengelernt habe, als ich ein Kind war. Gudermanian ist nach Christoph Guderman, einem Schüler von Gauß, benannt. Es stellt eine Beziehung zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen her und ist eng mit den kartographischen Projektionen von Mercator verwandt. Gudermanian ist jedoch in der modernen Literatur praktisch nicht zu finden.

Nun, in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts wurde eine große Menge an geistigen Ressourcen in die Entwicklung spezieller Funktionen investiert. Ich glaube, dass sich alles in Richtung Invariantentheorie, Syzygie oder in Richtung anderer charakteristischer mathematischer Bestrebungen der viktorianischen Ära entwickelt haben könnte. In der Tat machte die typische Liebe der reinen Mathematik zu Abstraktionen und Verallgemeinerungen spezielle Funktionen willkürlich und nicht besonders verbunden. Es ist, als würde man einige seltsame Tiere in einem Zoo studieren, anstatt allgemeine Biochemie zu studieren.

Fortschritte in der theoretischen Physik haben jedoch das Interesse an speziellen Funktionen wieder aktiviert. Die Mechaniker. Theorien der Elastizität. Elektromagnetische Theorie. Dann, in den 1920er Jahren, die Quantenmechanik, in der selbst die grundlegendsten Aufgaben die Verwendung spezieller Funktionen erforderten, wie zPolynome von Lagerra und Hermite . Und dann war da noch die Theorie der Streuung, die vielleicht fast den gesamten "Zoo" spezieller Funktionen nutzte.

Daraus entstand die Idee, dass jedes Problem in seiner reinen Form immer in Bezug auf spezielle Funktionen gelöst werden kann. Und zweifellos haben die Lehrbücher für diese Idee geworben. Weil die darin diskutierten Probleme in Bezug auf spezielle Funktionen sehr präzise formuliert wurden.

Natürlich gab es einige Lücken. Polynome fünften Grades. Die Aufgabe von drei Körpern. Sie waren jedoch zu nicht standardisiert. Nicht das, was für moderne probabilistische Theorien erforderlich war.

Generell ist der Umfang der Sonderfunktionen sehr umfangreich. Das Erstellen von Tabellen hat vor allem in England sehr an Dynamik gewonnen. Tatsächlich war dieser Bereich für den Staat von strategischer Bedeutung. Insbesondere für Dinge wie die Navigation. Es wurden viele Tabellen veröffentlicht. Hier zum Beispiel eine gute Auswahl aus dem Jahr 1794. Als ich sie zum ersten Mal sah, dachte ich, dass wir hier eine Art Zeitverschiebung erleben können.


(Eigentlich war dieser Wolfam ein Offizier der belgischen Artillerie. Ich glaube, ich habe nicht mehr Verwandte mit ihm als mit St. Wolfram, der im 7. Jahrhundert n. Chr. Lebte.)

Tische spielten zu dieser Zeit eine wichtige Rolle, was in den 1820er Jahren zum Erscheinen der Babbage-Differenzmaschine führte, mit der genaue Tabellen zusammengestellt werden sollten. Und bis zum Ende des 19. Jahrhunderts bildeten spezielle Funktionen die Grundlage für ihre Zusammenstellung.

Mechanische Taschenrechner wurden immer beliebter, und in Großbritannien und den USA gab es große Projekte, um Tabellen mit speziellen Funktionen zu erstellen. Zum Beispiel wie das WPA-Projekt ( Works Progress Administration-Projekt ) in den 30er Jahren, als während der Weltwirtschaftskrise Menschen damit beschäftigt waren, die Werte mathematischer Funktionen zu berechnen.

Dann begannen ernsthafte Arbeiten, ihre Eigenschaften zu systematisieren. Jeder hatte viel Arbeit, aber jeder Beitrag war nicht sehr groß. Obwohl alle dachten, sie spielten eine wichtige Rolle. Übrigens, hier ist das Cover des Amerikaners Jahnke und Emde, das erstmals 1909 veröffentlicht wurde und in der 30. Ausgabe Illustrationen bekam.



Übrigens nicht schlecht.



Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war die Erstellung volumetrischer Funktionsmodelle aus Gips und Holz populär. Und ja, ich hatte die Idee, die Zeta-Funktion zu veranschaulichen, mit der ich die erste Ausgabe des Mathematica-Buches von Jahnke und Emde behandelt habe.



Während des Zweiten Weltkriegs wurde viel über spezielle Funktionen geforscht, und es ist schwer zu erklären, warum. Dies wurde wahrscheinlich durch einige militärische Bedürfnisse verursacht. Ich neige jedoch dazu zu glauben, dass es nur ein Zufall war. Der potenzielle Zusammenhang mit einigen strategischen Aktivitäten sollte jedoch nicht außer Acht gelassen werden.

So erschien 1943 die erste Ausgabe von Magnus und Oberhettinger.



Darauf aufbauend erschien die Erstausgabe von Gradstein-Ginger .

Im Jahr 1946 starb Harry Bateman und hinterließ ein großes Archiv mit allen Informationen zu Sonderfunktionen. Letztendlich wurden seine Leistungen unter dem Namen Bateman Manuscript Project veröffentlicht.

Das Manhattan-Projekt und anschließend das Wasserstoffbomben-Entwicklungsprojekt dienten auch als Kunden und Verbraucher von Sonderfunktionen. Beispielsweise arbeitete Milt Abramowitz vom National Bureau of Standards 1951 an Tabellen der Coulomb-Wellenfunktionen , die er in der Kernphysik benötigte.



Daraus entwickelte sich nach und nach das 1965 erschienene Buch von Abramowitz-Stegan, das unter Verwendung spezieller Funktionen zur wichtigsten Literatur für Menschen in Amerika wurde.



In den 60er und 70er Jahren wurde der Entwicklung numerischer Algorithmen für Computer große Aufmerksamkeit geschenkt. Die Berechnung von Sonderfunktionen war ein beliebter Ort.

In den meisten Fällen war die Arbeit zu spezifisch - mit einer bestimmten Berechnungsgenauigkeit konnte eine enorme Menge Zeit für eine bestimmte Bessel-Funktion einer bestimmten Bestellung aufgewendet werden. Nach und nach entstanden Bibliotheken mit Sammlungen bestimmter Algorithmen zur Berechnung spezieller Funktionen. Eine große Anzahl von Menschen verwendet jedoch immer noch Nachschlagewerke mit Tabellen, die häufig an den bekanntesten Stellen in wissenschaftlichen Bibliotheken zu finden sind.

Schon als Teenager habe ich angefangen, mich mit speziellen Funktionen zu beschäftigen - Mitte der 1970er Jahre. Die offizielle Mathematik, die ich in England in der Schule studiert habe, hat bewusst keine besonderen Funktionen übernommen. Es bestand darin, einige knifflige Tricks anzuwenden, um die Antwort nur mit elementaren Funktionen zu finden. Es hat mir nicht wirklich gefallen. Ich wollte etwas allgemeineres, praktischeres. Weniger gerissen. Und ich mochte die Idee von Sonderfunktionen. Sie schienen ein effektiveres Werkzeug zu sein. Ihre Diskussion in Büchern über mathematische Physik schien jedoch nie systematisch genug zu sein. Ja, es waren leistungsstärkere Funktionen. Trotzdem wirkten sie etwas willkürlich: so etwas wie ein Zoo aus neugierigen Wesen mit Namen von beeindruckendem Klang.

Ich glaube, ich war ungefähr 16, als ich anfing, spezielle Funktionen für einige echte Aufgaben zu verwenden. Es war ein Dilogarithmus. Er arbeitete an der Teilchenphysik . Und ich schäme mich zu sagen, dass ich es einfach als f bezeichnet habe .



Zu meiner Verteidigung möchte ich jedoch sagen, dass die Polylogarithmen damals nicht wirklich untersucht wurden. Gewöhnliche Bücher über mathematische Physik enthielten Bessel-Integrale, elliptische Integrale, orthogonale Polynome und sogar hypergeometrische Funktionen. Aber keine Polylogarithmen. Wie sich herausstellte, schrieb Leibniz darüber. Aber aus irgendeinem Grund fielen sie nicht in den vertrauten „Zoo“ spezieller Funktionen. und die einzige wirkliche Information über sie, die ich Mitte der 1970er Jahre finden konnte, war das Buch über Mikrowellen von 1959 von Ingenieur Leonard Lewin.

Kurz darauf musste ich oft Integrale für Feynman-Diagramme berechnen. Und dann wurde mir klar, dass Polylogarithmen der Schlüssel sind, das ist, was Sie brauchen. Die Polylogarithmen wurden zu meinen treuen Freunden, und ich begann, ihre Eigenschaften zu untersuchen.



Und da fiel mir etwas auf, dessen Bedeutung mir erst viel später klar wurde. Ich sollte klarstellen, dass die Fähigkeit, zu dieser Zeit gut mit Integralen zu arbeiten, eine Art Markenzeichen eines theoretischen Physikers war.

Eigentlich würde ich nie sagen, dass ich irgendwelche Talente in der Algebra habe. Irgendwie habe ich jedoch festgestellt, dass Sie Integrale viel schneller und bequemer aufnehmen können, wenn Sie einige ausgefallene Sonderfunktionen verwenden. Sie fingen sogar oft an, mich zu bitten, mich zu integrieren. Es kam mir sehr überraschend vor. Besonders wenn man bedenkt, dass ich einfach ein Integral in Form einer parametrischen Ableitung des Integrals der Beta-Funktion aufgeschrieben habe.

Dies hat mich zu der Annahme gebracht, dass der Integrationsprozess erheblich erleichtert werden kann, indem man mit allgemeineren Funktionen arbeitet und dann zurückkehrt. Wie löse ich die kubische Gleichung in einer komplexen Form und gehe dann zu reellen Zahlen über? Wie auch immer, es gibt viele andere Beispiele in der Mathematik.

Also, irgendwo in der 78. erkannte ich, dass ich Code schreiben und den Prozess der Aufnahme all dieser Integrale automatisieren musste. Als Beispiel kann ich ein Blockdiagramm eines Programms auf Macsyma geben, das ich dann geschrieben habe.



Algorithmuskombination und Tabellensuche. Es hat wirklich funktioniert und war sehr nützlich.



Neben Polylogarithmen beschäftigte ich mich auch mit anderen Sonderfunktionen. K-Typ-Bessel-Funktionen zum Beispiel in kosmologischen Rechnungen .



Berechnungen in der Quantenchromodynamik prägten die Blütezeit der Zeta-Funktion in ihrer ganzen Pracht. Ich habe eine Theorie der " Ereignisbereiche " entwickelt, die noch immer in der Experimentalphysik Anwendung findet. Es basierte vollständig auf den sphärischen Harmonischen und den Legendre-Polynomen.

Ich erinnere mich an den Tag, an dem ich bei der Arbeit an einer Theorie der Quantenchromodynamik auf eine modifizierte Typ-1-Bessel-Funktion stieß . Ich hatte sie noch nie zuvor getroffen.

Sie wissen, die Entwicklung von Sonderfunktionen war oft mit interessanten Ereignissen verbunden. Wie auch immer - es war immer toll, mit speziellen Aufgabenstellungen zu arbeiten. Es war ziemlich spektakulär.

Manchmal schien es ziemlich amüsant, einem alten Physiker ein mathematisches Problem zu zeigen. Sie sahen sie wie Archäologen an den Fragmenten antiker Töpfe an. Wenn sie Bärte hätten, würden sie sie kämmen. Und es ist erwähnenswert, dass dies das Lagerra-Polynom sein könnte.

Und als jemand sagte, dass sein Problem einige spezielle Funktionen beinhaltete, bestand der Eindruck, dass es sich um eine Gewürzmischung mit orientalischen Gewürzen handelte. Und ja, der Osten wurde ebenfalls in die Arbeit einbezogen. Denn irgendwie, zumindest in den USA Ende der 1970er Jahre, schmeckten spezielle Funktionen sehr „russisch“.

Zumindest unter Physikern war das Buch von Abramowitz-Stegan bekannt. Und Janke und Emde waren praktisch unbekannt. Wie Magnus, Oberchettininger und andere. Ich glaube, dass nur Mathematiker den Entwurf von Batemans Manuskripten kannten (sogar in Kaltekh, wo er gegründet wurde). In der Physik waren russische Publikationen jedoch sehr beliebt, insbesondere Gradshteyn-Ryzhik.

Ich habe nie ganz verstanden, warum es unter den Sonderfunktionen einen so starken russischen Einfluss gab. Sie sagten, das liege daran, dass die Russen keine guten Computer hätten und alles in der analytischsten Form tun müssten. Ich denke, das ist nicht ganz richtig.Ich denke, es ist Zeit, die Geschichte zu erzählen, die hinter Grodstein-Ginger steckt.



Ich kenne immer noch nicht die ganze Geschichte, aber ich werde erzählen, was ich weiß. Joseph Moiseevich Ryzhik schrieb 1936 ein Buch mit dem Titel Special Functions, das vom United Scientific and Technical Publishing House (heute Fizmatlit) herausgegeben wurde. Ryzhik starb 1941 - ob im belagerten Leningrad oder an der Front. Im 43. Nachschlagewerk der Formeln von Ryzhik wurde vom Staatlichen Technischen und Theoretischen Verlag (derselbe Verlag, der seinen Namen geändert hat) veröffentlicht. Das Buch selbst formuliert sein Ziel als Lösung für das Problem des Fehlens von Nachschlagewerken mit Formeln. Es heißt, dass einige der in diesem Buch enthaltenen Integrale zum ersten Mal gefunden wurden, und der Rest stammt aus drei Büchern: dem französischen von 1858, dem deutschen von 1894 und dem amerikanischen von 1922.s das ist gleich. Es spricht drei berühmten Mathematikern der Moskauer Staatsuniversität seinen Dank aus. Das ist alles, was wir über Ginger wissen. Mehr als über Euklid, aber nicht viel.

Nun, mach weiter. Israel Solomonovich Gradshtein wurde 1899 in Odessa geboren und wurde Professor für Mathematik an der Moskauer Staatsuniversität. 1948 wurde er im Rahmen der sowjetischen Verfolgung jüdischer Gelehrter entlassen. Um zu verdienen, wollte er ein Buch schreiben. Und er beschloss, die Arbeit von Ryzhik fortzusetzen. Er hat ihn wahrscheinlich nie getroffen. Er komponierte jedoch eine Neuauflage, und in der dritten Auflage erschien das Buch unter der Autorschaft von Gradstein-Ryzhik.

Gradstein starb 1958 aus natürlichen Gründen in Moskau. Es gab eine Legende, dass einer derjenigen, die an dem Buch Gradstein-Ryzhik arbeiteten, im Rahmen der antisemitischen Verfolgung aufgrund eines Fehlers in den Tabellen erschossen wurde, der einen Flugzeugabsturz verursachte.

In der Zwischenzeit begann Yuri Geronimus, der mit Gradstein an der Moskauer Staatsuniversität arbeitete, ab etwa 1953, ihm beim Bearbeiten von Tabellen zu helfen, und fügte einige Anwendungen für spezielle Funktionen hinzu. Dann wurden mehrere weitere Personen in die Arbeit einbezogen. Und als die Tabellen im Westen veröffentlicht wurden, gab es einige Fragen zu Lizenzgebühren. Geronimus ist gesund und munter und lebt jetzt in Jerusalem - Oleg Marichev hat ihn letzte Woche angerufen.

Ich denke, dass Integrale etwas Ewiges sind. Sie tragen nicht die Spuren ihrer Schöpfer. Wir haben also Tabellen, aber in Wirklichkeit verstehen wir nicht so recht, woher sie kommen.

Auf diese Weise wurde ich in den späten 1970er Jahren ziemlich ernsthaft in spezielle Funktionen involviert. Als ich 1979 damit begann, SMP , eine Art Vorgänger von Mathematica , zu erstellen , war es notwendig, leistungsstarke Unterstützung für spezielle Funktionen hinzuzufügen. Es schien naheliegend, die Rechenroutine einem Computer zu übergeben.

Hier ist eines der frühesten SMP-Konzepte, die in den ersten Wochen des Projekts geschrieben wurden. Es finden bereits Sonderfunktionen statt.



Hier ist etwas später.



Die erste Version von SMP wurde 1981 veröffentlicht und arbeitete bereits mit fast allen wichtigen Sonderfunktionen.



Einige von ihnen waren schlecht entwickelt. Viele freuten sich jedoch, dass sie mit ihren Funktionen in diesem Umfeld arbeiten konnten. Die numerische Arbeit mit Funktionen war recht primitiv organisiert. Eine sehr positive Rolle spielte jedoch die harte Arbeit bei der Berechnung allgemeiner hypergeometrischer Funktionen. Und dann haben wir uns viele andere Funktionen als ihre Spezialfälle angesehen. Und alles war in Ordnung. Ja, bis auf eine Tatsache - die interessantesten Funktionsbereiche haben sich oft als entartet herausgestellt. In der Praxis wurden daher nur in einigen Bereichen sogar Zahlenwerte erhalten.

Nun, mehrere Jahre sind vergangen. Und 1986 habe ich angefangen, Mathematica zu erstellen. Und dieses Mal wollte ich alles richtig machen - numerische Werte für alle Funktionen, alle Parameterwerte, in der gesamten komplexen Ebene, mit jeder Genauigkeit.

Zuerst dachte ich, dass ich vielleicht mit Experten sprechen muss. Und ich erinnere mich sehr gut an den Anruf, den ich mit jemandem vom staatlichen Labor hatte. Ich erklärte, was ich tun möchte. Und es herrschte Stille. Und dann antworteten sie mir: " Hören Sie, Sie sollten verstehen, dass wir bis Ende der 90er Jahre hoffen, die Genauigkeit der Ermittlung der Werte von Bessel-Funktionen ganzzahliger Ordnung zu vervierfachen ."

Nun, wir brauchen einen anderen Ansatz. Das Problem war, dass der Typ mit den Bessel-Funktionen aus dem Labor dachte, dass er sich allein mit numerischen Methoden befassen würde. Ich habe jedoch verstanden, dass wir für diese Aufgaben eine Automatisierung benötigen. Und dann entwickelte Jerry Caper ein automatisiertes System zum Auffinden von Algorithmen für Rechenfunktionen. Es stellte sich etwas im Stil einer neuen Art von Wissenschaft heraus - es wurden allgemeine Formen rationaler Annäherungen an Funktionen angegeben. Dann folgten umfangreiche Arbeiten zur Optimierung der Parameter.

Und es hat funktioniert und sehr gut. Und alle Funktionen fingen an, gute numerische Werte zu haben.

Im Allgemeinen ist es eine Menge Arbeit wert, Mathematica eine spezielle Funktion hinzuzufügen. Sie müssen sich nicht nur mit numerischen Werten befassen - für alle Parameterwerte und andere Dinge. Es ist auch notwendig, alle ihre Eigenschaften in symbolischer Form zu implementieren. Das heißt, Derivate, Serien, asymptotische Erweiterungen. Mit der Kommunikation mit Argumenten und Parametern. Und vieles von allem. Oft müssen wir völlig neue Formeln ableiten, die in der Literatur nie gefunden wurden.

Und natürlich müssen wir Funktionen mit Integralen, Differentialgleichungen, Summen und Integraltransformationen verknüpfen. Plus FunctionExpand und FullSimplify und vieles mehr. Es stellt sich eine lange Liste heraus.

Oft entstehen die schwierigsten Momente an den Verzweigungspunkten von Funktionen. Die meisten stetigen Sonderfunktionen werden implizit definiert, normalerweise aus Differentialgleichungen. Das heißt, eine Funktion, wie beispielsweise im Fall einer quadratischen Gleichung, kann mehrere Werte haben, die verschiedenen Bereichen ihrer Riemann-Oberfläche entsprechen.

Um die richtige Funktion auszuwählen, müssen Sie einen Hauptbereich auswählen. So nähen Sie die Lücken und entfernen Sie sozusagen die Äste. Und die Darstellung dieser Brüche und Zweige in symbolischer Form ist eine sehr schwierige Aufgabe. Auch für elementare Funktionen. Hier ist zum Beispiel eine Version der Formel, die frei von Verzweigungen ist .



Dies wird in der Schule nicht gelehrt. Und tatsächlich haben wir es erst vor kurzem herausgebracht. Damit die symbolischen Manipulationen im komplexen Bereich korrekt sind, muss sie jedoch verwendet werden.

Wir haben in Mathematica auf dem Gebiet der Sonderfunktionen großartige Arbeit geleistet . Mit Algorithmen. Formeln. Und so ist unsere Wolfram Functions Site . Eine enorme Anzahl von Arbeitsstunden und alle Arten von durchdachter Automatisierung wurden mit dem gesamten Wissen über spezielle Funktionen, die auf der Welt existieren, multipliziert.

Ich denke, wir haben es geschafft. Es ist schwierig, eine quantitative Bewertung zu erhalten, aber die Tatsache, dass es jetzt so einfach ist, mit diesen Funktionen wie mit Sinus und Cosinus zu arbeiten, hat sie meiner Meinung nach viel populärer gemacht. Sie hörten auf, irgendeine Art von Neugier zu sein, von der nur wenige gehört hatten. Jetzt kann sie jeder über den Online-Integrator beziehen (derzeit ist der Dienst veraltet und seine Funktionalität wird von Wolfram | Alpha , ca. Ed., Vollständig abgedeckt ). Sie sind nicht mehr wie ein Teil der Mathematik. Sie sollen einfach und nützlich sein.

Nun, ich habe versprochen, über die Zukunft der Besonderheiten zu sprechen. Es ist interessant, einige Trends zu verfolgen. Es gibt viele Besonderheiten, die immer in Mode sind. Wie Bessel oder orthogonale Polynome. Und es gibt zum Beispiel Polylogarithmen, die schon lange im Schatten liegen, sich aber in einzelnen Anwendungen großer Beliebtheit erfreuen. Und es gibt Besonderheiten, die noch wenig bekannt sind. Als transzendentales Painlevé fungiert . Sie sind bereits mehr als hundert Jahre alt. In Mathematica wird manchmal nach ihnen gefragt .

Nun, in der Entwicklung von MathematicaWir werfen oft das Problem der Zukunft von Besonderheiten auf. Welche Funktionen und in welche Richtungen werden sinnvoll und gefragt sein? Einige von ihnen werden mit großem Aufwand ausgearbeitet, aber ihr Schicksal wird dasselbe sein wie das von Gudermanian.

Eine Tendenz, an der Mathematica nicht beteiligt war, ist jedoch offensichtlich - neue Funktionen aus diskreten Differentialgleichungen auf dieselbe Weise wie aus kontinuierlichen Differentialgleichungen zu erhalten. Verwenden Sie also RSolve und Sum anstelle von DSolve und Integrate. Natürlich ist dies, wie bei vielen anderen Ideen, nichts grundsätzlich Neues. George Bull veröffentlichte 1859 bzw. 1860 Arbeiten - über Differentialgleichungen und über endliche Differenzen: Eine Abhandlung über Differentialgleichungen und eine Abhandlung über die Berechnung endlicher Differenzen . Für die fünfte Version von Mathematica haben wir die Ergebnisse seiner Arbeit erhoben und algorithmisiert.

Nun, aus der Sicht von Buhl und Babbage wird die Antwort nicht als Lösung betrachtet, wenn sie nicht in Form einer Kombination von Elementarfunktionen präsentiert wird. Wir können aber auch diskrete Sonderfunktionen sicher verwenden. Und ich werde nicht überrascht sein, wenn wir sie richtig fragen, werden wir feststellen, dass sie bereits im 17. Jahrhundert in Betracht gezogen wurden.

Überlegungen zu alledem lassen Gedanken zu einer allgemeineren Theorie spezieller Funktionen aufkommen. So etwas wie ein neues Fundament, ein neues Fundament.

Qualitatives Bild: Spezielle Funktionen sind seit Babylon eine Art Anziehungspunkt für mathematische Berechnungen. Im endlosen Meer möglicher Funktionen sind sie Ankerpunkte. Funktionen mit mehreren Argumenten, die in verschiedenen Berechnungen als Grundelemente verwendet werden können.

Es gibt eine Analogie zu den in Wolfram Language ( Mathematica ) integrierten Funktionen. Es gibt so viel Raum für mögliche Berechnungen, die die Leute gerne durchführen würden. Und unsere Arbeit bei der Gestaltung von Mathematicabesteht darin, die erfolgreichsten Grundelemente festzulegen, aus denen die Berechnungen bestehen.

Warum sind die Besonderheiten so gut? Gehen wir dieses Problem aus praktischer Sicht an. Welche Besonderheiten setzen wir am häufigsten ein? Vielleicht sind sowohl Mathematica als auch die Wolfram Functions-Website am besten in der Lage, diese Frage zu beantworten.

Hier sind ein paar Fakten. Erstens enthalten die meisten Sonderfunktionen eine kleine Anzahl von Argumenten. Meistens zwei. In den alten Tabellen wurden hauptsächlich Funktionen mit einem Argument angegeben, und nur manchmal mit zwei. Weil sie sich sehr unwohl fühlten.

Natürlich haben wir jetzt nicht mehr die Einschränkungen, die damals in Kraft waren. Mit der Anzahl der Argumente wächst jedoch auch die Anzahl der Spezialbereiche, Lücken und mehr. Es ist schwierig, all dies im Auge zu behalten, und oft geht die Integrität einer bestimmten Sonderfunktion verloren.

Man kann sich eine andere Frage stellen: Wie und womit kann eine bestimmte Sonderfunktion verbunden werden? Durch welche Beziehungen kann es ausgedrückt werden? Wie kann es mit anderen Funktionen oder mit sich selbst assoziiert werden? Nun, diese Frage kann mit der Wolfram Functions Site sogar quantitativ beantwortet werden. Hier finden Sie eine vollständige Matrix der Funktionen, die Links zu den auf der Wolfram-Funktionssite aufgeführten Funktionen enthalten.



Und hier ist eine Tabelle der am meisten verwandten Funktionen, die im Google-Pagerank-Stil präsentiert werden.



Und hier ist eine Grafik, die die vier beliebtesten Links von jeder Funktion zeigt.



Man könnte meinen, je mehr Beziehungen eine Funktion hat, desto nützlicher ist sie. Die Gamma- Funktion, die eine der am häufigsten verwendeten ist, hat jedoch nicht so viele Verbindungen mit anderen Funktionen. Während die Weiesstraß-Funktion , über die man nicht sprechen kann, viel mehr Verbindungen hat. Und die Zeta- Funktion steht im Allgemeinen auseinander.

Schauen wir uns nun die detaillierteren fortlaufenden Sonderfunktionen an, die wir normalerweise verwenden. Potenzreihen waren von Anfang an eine der Hauptmethoden, mit denen Funktionen berücksichtigt werden können. Tatsächlich haben alle von uns verwendeten Sonderfunktionen ein wichtiges Merkmal in ihrer Potenzreihe - alle Koeffizienten sind rational. Der Koeffizient davor ist also eine rationale Funktion von n . Und das heißt, die Funktionen sind hypergeometrisch. Sie können dargestellt werden - hypergeometric Funktionen .

Und zu einem gewissen Grad sind die Werte von p und qfür eine bestimmte Funktion korrelieren, wie exotisch diese Funktion ist. Die Potenz der Zahl ist {0,0}. Trigonometrisch und invers trigonometrisch - {1,0}. Fehlerfunktionen (Erf) - {1,1}. BesselJ - {0,1}. EllipticK - {2,1}. Und das 6- J- Symbol ist {4.3}. Einige der von uns verwendeten Funktionen sind jedoch nicht hypergeometrisch. Wie Mathieu funktioniert zum Beispiel.

Vielleicht ist dies die Antwort: Aus irgendeinem Grund haben die Funktionen, die wir am häufigsten verwenden, rationale Erweiterungen bei der Exponentialexpansion, und spezielle Funktionen sind eine Möglichkeit, all dies zu strukturieren. Es gibt jedoch einen einfachen Weg, um zu zeigen, dass in der Tat nicht alles so einfach ist.

Sie können einfach alle möglichen Reihen mit rationalen Graden auflisten und sich fragen, welchen Funktionen sie entsprechen. Mit Sum in Mathematica ist das ganz einfach . Hier sind einige Ergebnisse:



Natürlich ist alles eine Kombination von hypergeomeren Funktionen . Bemerkenswert ist jedoch, wie nahe die Gammafunktion und die Gruppe der Bessel-Funktionen beieinander liegen . Es ist praktisch sauber .

Es stellt sich heraus, dass es einen anderen Auswahlprozess gibt, der Standard-Sonderfunktionen erzeugt.

Ein weiteres wichtiges Merkmal einer hypergeometrischen Funktion ist, dass sie in differenzieller Form angegeben werden kann. Aber hier ist ein anderer Gedanke: Vielleicht sind spezielle Funktionen die Lösung für eine bestimmte Klasse von Differentialgleichungen.

Und es ist sicherlich viel näher. Stellen wir uns vor, dass wir beispielsweise Differentialgleichungen zweiter Ordnung aufzählen, indem wir ganzzahlige Polynome aus Sequenzen von Ganzzahlen konstruieren, die nacheinander stehen. Dann wenden Sie DSolve an . Und hier ist das Ergebnis.



Es fällt ziemlich interessant aus. Allein aus dieser Klasse von Differentialgleichungen haben wir so viele beliebte Sonderfunktionen. In gewisser Weise ist dies ein Teil der Antwort.

Dies ist jedoch wiederum nur ein Teil der Antwort. Sehen Sie sich das gesamte Spektrum der DSolve- Ergebnisse an . Es gibt Lücken. Löcher - DSchäden beseitigen ? Nein, das ist bei weitem nicht immer der Fall. Oft deutet dies auf das Vorhandensein anderer uns unbekannter Sonderfunktionen hin.

Es ist nicht kompliziert, nach den Gleichungen zu fragen, aus denen sie abgeleitet sind. Auch mit Hilfe von Integralen. Wie zum Beispiel das Integral von Sin [Sin [x]]. Man könnte annehmen, dass dies eine ziemlich einfache Sonderfunktion wäre. Wie viele andere Integrale verschachtelter trigonometrischer Funktionen. Nein. Um dies durch spezielle Funktionen auszudrücken, benötigen Sie viel komplexere hypergeometrische Funktionen zweier Variablen.

Es fällt ziemlich lustig aus. Integrieren Sie in Mathematica ist gut genug , um es zu behandeln. Probieren Sie einfach verschiedene Integrale aus, und Sie werden sehen, wo die Grenzen ihrer Funktionen liegen, wenn Sie mit speziellen Funktionen arbeiten.

Und hier ist eine ziemlich grundlegende Frage: Welche Arten von Berechnungen sollten genaue Lösungen in Bezug auf spezielle Funktionen liefern? In der theoretischen Physik kann man eine solche unausgesprochene Übereinstimmung feststellen, dass eine sogenannte physikalische Aufgabe ernsthafte Anstrengungen erfordern muss, um sie zu lösen. Quantenchromodynamik. Turbulenzen in Flüssigkeiten. Ja alles Und geben Sie Formeln aus, die erklären, was im System passiert.

In diesem Sinne ist es entscheidend für die Selbstidentifikation der theoretischen Physik. Das heißt, all dies sollte prädiktive Theorien inspirieren. Ich meine, um herauszufinden, was in dem Zweikörperproblem für einen idealen Planeten geschieht, der einen Stern umkreist, müsste jemand jede Position des Planeten verfolgen. Aber die theoretische Physik sagt ihm stolz, dass dies nicht getan werden muss. Sie schlägt einfach vor, eine Formel zu verwenden, um das Ergebnis zu erhalten. Somit reduziert sich das Vorhersageproblem auf die Berechnung der Formel.

Wo liegen also die Grenzen dieses Ansatzes? Ist es nur eine Frage der Zeit, bis die Formeln für alles andere erscheinen?

Im Rahmen der traditionellen Physik oder Mathematik werden diese Fragen nicht aufgeworfen. Aber die neue Art von Wissenschaft, die ich so lange entwickelt habe, enthält eine Antwort auf diese Frage.

Es sei daran erinnert, dass eines seiner Grundprinzipien die Erfassung aller möglichen einfachen Programme mit allen möglichen Regelsystemen ist. Die traditionellen exakten Wissenschaften orientieren sich stark an der Mathematik. Gespräche werden nur über die Dinge geführt, die mit der Terminologie traditioneller mathematischer Konstruktionen formuliert werden können. Aber jetzt - mit einer neuen Art von Wissenschaft - können wir viel mehr abdecken. Wir können das gesamte Computeruniversum mit allen möglichen Grundregeln erkunden.

Und was können wir dort finden? Ein gutes Beispiel ist meine Lieblingssammlung eindimensionaler zellularer Automaten. Hier sind sie, alle von ihnen sind viele.



Viele machen ziemlich einfache Dinge. Und sie geben die gleichen Strukturen aus. Oder zumindest repetitiv.

Versuchen wir uns vorzustellen, dass wir eine Formel finden können, um dies zu implementieren. Auf diese Weise können Sie beispielsweise nachvollziehen, welche Farbe eine bestimmte Zelle zu einem bestimmten Zeitpunkt haben wird.

Aber was ist mit diesem Kerl? Meine liebste 30. Regel?



Gibt es eine Formel, um zu bestimmen, was nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen passiert?

Oder dafür?



Ich glaube nicht.

Ich denke tatsächlich, dass solche Systeme von Natur aus rechnerisch nicht reduzierbar sind .

Wir können ein solches System als 30. Regel betrachten, als einen Berechnungsprozess. Wenn wir vorhersagen wollen, welches Ergebnis es liefern wird, müssen wir auch einige Berechnungen durchführen. In gewisser Weise beruhten die Erfolge traditioneller Gebiete wie der theoretischen Physik auf der Lösung einiger weitaus komplexerer Systeme als der von uns untersuchten. Wir müssen also definieren, was das System tun wird, wenn es viel weniger Rechenleistung hat, als es benötigt.

Ja, eine der Hauptideen in meinem Buch ist das Prinzip der Computeräquivalenz". Dieses Prinzip besagt, dass fast alle Systeme, deren Verhalten nicht offensichtlich einfach ist, genau ihrer rechnerischen Komplexität entsprechen. Auch wenn sowohl unser Gehirn als auch unsere mathematischen Algorithmen mit sehr komplexen Regeln arbeiten können, können sie dies nicht Berechnungen durchzuführen, die zumindest etwas komplizierter sind als beispielsweise das, was die 30. Regel tut, dh das Verhalten der 30. Regel ist rechnerisch nicht reduzierbar: Wir können nicht erklären, wie es sich verhalten wird System mit einigen ein Verfahren, das effizienter ist als eine einfache Wiedergabe der 30. Regel.

Daher können wir für die 30. Regel keine exakte Lösung erhalten - zum Beispiel eine Formel, deren Argumente die Zellkoordinate und -schritt sind und deren Funktionsausgabe die Farbe der Zelle ist.

Übrigens können Sie dies beweisen, wenn Sie die rechnerische Universalität der 30. Regel beweisen, dh mit ihrer Hilfe können Sie beliebige Berechnungen durchführen, ein beliebiges System emulieren. Auf diese Weise können Sie nachvollziehen, warum diese Regel keine exakte Lösung bietet. In gewisser Hinsicht, weil diese Lösung jede mögliche Berechnung sein sollte. Das bedeutet, dass es keine kleine Formel sein kann.

Nun, was folgt daraus in Bezug auf spezielle Funktionen? Nun, wenn wir mit großen Mengen an Irreduzibilität konfrontiert sind, helfen uns spezielle Funktionen nicht viel. Weil es für viele Probleme einfach nicht möglich ist, eine Formel zu erstellen - es spielt keine Rolle, ob es sich um spezielle Funktionen handelt oder was auch immer.

Eine der Hauptideen meines Buches ist, dass in der Computerwelt verschiedener Programme das Problem der rechnerischen Irreduzibilität sehr einfach gelöst wird. Und der Grund, warum wir selten darauf stoßen, ist, dass Wissensbereiche wie die theoretische Physik eine rechnerische Irreduzibilität speziell vermeiden.

In der Natur, insbesondere in Bereichen wie der Biologie, kann man jedoch auf eine viel breitere Auswahl von Vertretern des Computeruniversums treffen. Das heißt, es kann oft eine rechnerische Irreduzibilität festgestellt werden. Die theoretischen Wissenschaften konnten in diesem Bereich kaum Fortschritte erzielen.

Betrachten wir nun ein System wie die 30. Regel oder sagen wir eine kleine partielle Differentialgleichung, die ich gefunden habe, als ich den Raum aller möglichen ähnlichen Gleichungen erkundet habe.



Warum gibt es also keine spezielle Funktion auf hoher Ebene, die die Vorgänge in diesen Systemen widerspiegelt?

Natürlich können wir für die 30. Regel auch eine spezielle Funktion festlegen. Oder eine spezielle Funktion für diesen UDC. Aber das ist eine Art Täuschung. Und der Weg, dem wir folgen, macht deutlich, dass die spezielle Funktion zu "speziell" sein wird. Rein nominal würde dies natürlich die Anwendung der 30. Regel oder dieses URChP beschleunigen. Aber das ist alles. Es wird nicht, wie die Bessel-Funktion, in einer Vielzahl unterschiedlicher Aufgaben auftauchen. Es wird nur dazu dienen, dieses spezielle Problem zu lösen.

Versuchen wir, das oben Gesagte zusammenzufassen. Tatsache ist, dass es bei einem bestimmten Bereich der rechnerischen Irreduzibilität viele separate Bereiche gibt, in denen dies vermieden werden kann. Die Bedeutung einer speziellen Funktion, die nicht unbrauchbar sein wird, besteht darin, dass viele verschiedene Probleme leicht auf diese spezielle Funktion zurückzuführen sind.

Es zeigt sich, dass der Umfang aller Probleme, bei denen keine rechnerische Irreduzibilität vorliegt, Standard-Sonderfunktionen des hypergeometrischen Typs umfasst. Und was ist jenseits dieser Sphäre? Ich denke, es ist voll von rechnerischer Irreduzibilität. Und voller Fragmentierung. Es kann also keine neue magische Sonderfunktion erscheinen, die sofort viele Problembereiche abdeckt. Dies ist ein bisschen wie die Situation mit Solitonen und ähnlichen Dingen. Sie sind auf ihrem Gebiet gut, aber sie sind sehr spezifisch. Sie leben in einem sehr engen Bereich des Raums für alle Arten von Aufgaben.

Okay, wie formulieren Sie diese Konzepte allgemeiner?

Sie könnten sich Analoga mit speziellen Funktionen für eine Vielzahl von Systemen vorstellen. Gibt es eine begrenzte Anzahl spezieller Objekte, für die möglicherweise Berechnungen erforderlich sind, mit deren Hilfe jedoch andere nützliche Objekte abgerufen werden können?

Sie könnten an Zahlen denken. Zahlen können "elementar", rational und algebraisch sein. Aber was sind dann nützliche "Sonder" -Nummern? Natürlich sind dies Pi , E und EulerGamma . Was ist mit den anderen Konstanten? Die restlichen Konstanten verblassen im Schatten ihrer bekannteren Gegenstücke. Es gibt wahrscheinlich nicht viele Beispiele auf der Wolfram Functions-Website, bei denen es eine Konstante gibt, die regelmäßig auftaucht, für die es jedoch keinen Namen gibt.

[Die Aufzeichnung der Aufführung endet an dieser Stelle]
In der 10. Version von Wolfram Language (Mathematica) sind Hunderte von Sonderfunktionen integriert.

Sie können hier mehr darüber erfahren:
  • Listen (nach Gruppen) der in Wolfram Language (Mathematica) implementierten Sonderfunktionen
  • Der Artikel dokumentiert eine spezielle Funktion in Wolfram Sprache

Code zum Erstellen der im Titelbild verwendeten Oberfläche
{nx,ny}={Prime[20],Prime[20]};
{xMin,xMax}={-8,5};
{yMin,yMax}={-3,3};
f=Interpolation@Flatten[Table[{{x,y},Abs[BesselI[x+I y,(x+I y)]+BesselJ[x+I y,(x+I y)]]},{x,xMin,xMax,N[(xMax-xMin)/nx]},{y,yMin,yMax,N[(yMax-yMin)/ny]}],1];
gradient=Grad[f[x,y],{x,y}];
stream=StreamPlot[gradient,{x,xMin,xMax},{y,yMin,yMax},StreamStyle->"Line",StreamPoints->{Flatten[Table[{x,y},{x,xMin,xMax,N[(xMax-xMin)/20]},{y,yMin,yMax,N[(yMax-yMin)/7]}],1],Automatic,Scaled[1]}];
lines3D=Graphics3D[{Opacity[0.5,White],Thick,{Cases[Normal[stream[[1]]],Line[___],Infinity]}/.{x_Real,y_Real}:>{x,y,Abs[f[x,y]]}}];
Rasterize[#,ImageResolution->150]&@Show[{Plot3D[f[x,y],{x,xMin,xMax},{y,yMin,yMax},Mesh->0,MeshFunctions->{#3&},Filling->None,ColorFunction->Function[{x,y,z},ColorData["SunsetColors"][z]],ImageSize->800,Lighting->"Neutral",Boxed->False,AxesOrigin->{0,0,0},Axes->False,AxesLabel->(Style[#,20]&/@{Re[z],Im[z],Abs[BesselI[z,z]+BesselJ[z,z]]}),PlotPoints->150,PlotRange->{0,3},BoxRatios->{1.5,1,1/2},ViewPoint->{-1.64,-2.36,1.77},ViewVertical->{0,0,1}],lines3D}]

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