Offenbarte die geheime Verbindung von reiner Mathematik und Physik

Published on December 22, 2017

Offenbarte die geheime Verbindung von reiner Mathematik und Physik

Ursprünglicher Autor: Kevin Hartnett
  • Übersetzung

Ein bedeutender Mathematiker enthüllte Einzelheiten über seinen Erfolg bei der Erforschung Tausender Jahre mathematischer Fragen im Zusammenhang mit Begriffen aus der Physik



Mignon Kim

Mathematics steckt voller seltsamer Zahlensysteme, von denen die meisten Menschen noch nie gehört haben. Einige von ihnen werden sogar schwer vorstellbar sein. Aber rationale Zahlen sind allen bekannt. Dies sind Zahlen zum Zählen von Objekten und Brüchen - alle Zahlen, die uns aus der Grundschule bekannt sind. In der Mathematik ist es manchmal schwieriger, die einfachsten Dinge zu verstehen. Sie sind einfach wie eine glatte Wand, ohne Risse und Vorsprünge oder andere offensichtliche Eigenschaften, die erfasst werden könnten.

Minion Kim , [ Minhyong KimEin Mathematiker der Universität Oxford interessiert sich besonders für die Frage, welche rationalen Zahlen sich zur Lösung von Gleichungen einer bestimmten Art eignen. Dieses Problem hat Fachleute in der Zahlentheorie seit Tausenden von Jahren angeregt. Und sie sind kaum auf dem Weg zu ihrer Lösung vorangekommen. Wenn eine Frage so lange und ohne Antwort untersucht wurde, kann der Schluss gezogen werden, dass der einzige Weg dahin darin besteht, eine radikal neue Idee voranzutreiben. Genau das hat Kim getan.

„Der Techniker ist nicht so sehr, obwohl wir die letzten 3000 Jahre daran gearbeitet haben. Also , wenn jemand eine wirklich neue Art und Weise zu tun , es macht, ist es von großen Interesse ist - und Mignon hat genau das getan“, - sagt Jordan Ellenberg [ Jordan Ellenberg ], ein Mathematiker an der Universität von Wisconsin in Madison.

In den letzten zehn Jahren hat Kim einen völlig neuen Weg beschrieben, um Muster in der scheinbar ungeordneten Welt der rationalen Zahlen zu finden. Er beschrieb diese Methode in Artikeln und auf Konferenzen und übergab sie Studenten, die diese Arbeit nun selbständig fortsetzen. Aber er hat immer etwas gespart. Seine Vision, die seine Ideen zum Leben erweckte, basierte nicht auf einer reinen Welt der Zahlen, sondern auf Begriffen, die der Physik entlehnt waren. Für Kim ähneln rationale Entscheidungen in gewisser Weise der Flugbahn des Lichts.


Ein mathematisches Objekt, ein Dreiloch-Torus, ziert Kims Tafel an der Universität Oxford.

Wenn diese Beziehung fantastisch erscheint, dann auch für Mathematiker. Daher gab Kim ihre Daten lange Zeit nicht weiter. "Ich habe es versteckt, weil ich viele Jahre durch die Verbindung mit der Physik verwirrt war", sagt er. "Zahlentheoretiker sind sehr praktische Leute, und der Einfluss der Physik lässt sie manchmal skeptisch gegenüber der Mathematik werden."

Aber jetzt sagt Kim, er sei bereit, seine Vision zu teilen. "Ich denke, diese Veränderung ist nur ein Symptom des Alterns!" Kim, der 53 Jahre alt wurde, schrieb in einem der ersten Briefe, die wir ausgetauscht hatten, um diese Geschichte zu schreiben.

Vor kurzem hielt er eine Konferenz ab, an der Zahlentheorie- und Stringtheorie-Experten teilnahmen. Er skizzierte auch Entwürfe von Artikeln, die seine Inspiration für die mathematische Gemeinschaft beschreiben, die es nicht gewohnt sind, mit solchen direkten Analogien zur physischen Welt über Zahlen nachzudenken.

Es bleibt nur ein Hindernis - der letzte Teil der Analogie der Physik in der Mathematik, den Kim noch ausarbeiten muss. Er hofft, dass er durch die Einladung anderer, insbesondere von Physikern, die Hilfe erhält, die für die Vollendung der Arbeiten erforderlich ist.

Altes Geheimnis


Rationale Lösungen von Gleichungen ziehen den menschlichen Verstand aktiv an. Sie bringen eine ähnliche Befriedigung, wie Sie sie von den Puzzleteilen erhalten, die an Ort und Stelle sind. Daher sind sie die Helden der berühmtesten mathematischen Hypothesen.

Die Anzahl der rationalen Zahlen umfasst ganze Zahlen und jede Zahl, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann, z. B. 1, -4 oder 99/100. Mathematiker interessieren sich besonders für solche rationalen Zahlen, die diophantische Gleichungen lösen - Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, z. B. x 2 + y 2 = 1. Sie sind nach dem Mathematiker Diophantus benannt , der sie im 3. Jahrhundert n. Chr. In Alexandria studierte

Rationale Lösungen sind im allgemeinen Fall schwer zu finden, da sie keiner geometrischen Regelmäßigkeit gehorchen. Nehmen Sie die Gleichung x 2 + y 2 = 1. Ihre Lösungen in reellen Zahlen bilden einen Kreis. Entfernen Sie alle Punkte auf dem Kreis, die nicht als Bruch ausgedrückt werden können, und es verbleiben nur rationale Entscheidungen, die kein so genaues Objekt bilden. Rationale Lösungen sind zufällig über den Kreis verteilt.



„Die Bedingung, die ein Punkt erfüllen muss, um rationale Koordinaten zu haben, ist überhaupt nicht geometrisch. Es ist unmöglich, eine Gleichung zu schreiben, die rationale Punkte erfüllen müssen “, sagt Kim.

Oft ist es recht einfach, eine oder sogar mehrere rationale Lösungen zu finden. Interessanter ist es aber für Mathematiker, die Unvollständigkeit nicht mögen, alle rationalen Lösungen zu finden. Und es ist viel schwieriger. Es ist so schwierig, dass der Beweis selbst einer kleinen Aussage über die Anzahl der rationalen Lösungen ausreicht, um als mathematischer Stern betrachtet zu werden. 1986 gewann Gerd Faltings die Fields Premium , die höchste mathematische Auszeichnung, hauptsächlich für den Nachweis der Mordell-Hypothese , wonach bestimmte Klassen diophantiner Gleichungen nur eine endliche Anzahl rationaler Lösungen haben.

Der Beweis von Faltings war der Wendepunkt der Zahlentheorie. Und auch daran, dass Mathematiker „unwirksame Beweise“ nennen, weil sie nicht genau die Anzahl der rationalen Lösungen angegeben und diese nicht gefunden haben. Seitdem haben Mathematiker nach Wegen gesucht, um diese nächsten Schritte zu unternehmen. Rationale Punkte erscheinen in einem regulären Gleichungsgraphen zufällig. Mathematiker hoffen, dass Sie durch Ändern des Kontexts, in dem sie über das Problem nachdenken, diese Punkte als sinnvolle Kombination erscheinen lassen, die auf präzise Weise beschrieben werden kann. Das Problem ist, dass bekannte Bereiche der Mathematik keinen solchen Kontext bieten.


Kim in seinem Büro in Oxford

"Um aus rationalen Gesichtspunkten effektive Ergebnisse zu erzielen, ist eindeutig eine neue Idee erforderlich", sagte Ellenberg.

Nun gibt es zwei Hauptannahmen über die Natur einer solchen Idee. Einer stammt von dem japanischen Mathematiker Shin-ichi Mochizuki , der 2012 auf der Seite seines Fachbereichs an der Universität Kyoto eine komplexe und innovative mathematische Arbeit von mehreren hundert Seiten veröffentlichte. Nach fünf Jahren bleibt diese Arbeit weitgehend unverständlich. Eine weitere neue Idee kam von Kim, der versuchte, sich rationale Zahlen in einem erweiterten numerischen Kontext vorzustellen, in dem ihre verborgenen Muster zu erscheinen beginnen.

Symmetrische Lösung


Mathematiker sagen oft, je symmetrischer ein Objekt ist, desto einfacher ist es, es zu studieren. Daher möchten sie das Studium der diophantinischen Gleichungen unter Bedingungen platzieren, die symmetrischer sind als diejenigen, bei denen dieses Problem auf natürliche Weise auftritt. Wenn dies gelingt, können sie die neu gefundenen Symmetrien verwenden, um die rationalen Punkte aufzuspüren, die sie benötigen.

Stellen Sie sich einen Kreis vor, um zu verstehen, wie Symmetrie der Mathematik hilft, sich an einem Problem zu orientieren. Vielleicht ist es Ihr Ziel, alle Punkte auf dem Kreis zu identifizieren. Symmetrie ist sehr hilfreich, da eine Karte erstellt wird, mit der Sie sich von bekannten zu noch zu entdeckenden Punkten bewegen können.

Stellen Sie sich vor, Sie finden alle rationalen Punkte am unteren Rand des Kreises. Da der Kreis eine Spiegelsymmetrie hat, können die Punkte nach oben reflektiert werden (indem die Vorzeichen aller Koordinaten von y geändert werden) und plötzlich können alle Punkte aus dem oberen Teil erhalten werden. Der Kreis ist im Allgemeinen so symmetrisch, dass Sie zum Auffinden aller Punkte nur die Position eines Punkts ermitteln und dann mit dem Wissen über die Kreissymmetrie kombinieren müssen. Sie müssen lediglich die unendliche Drehsymmetrie des Kreises auf den Startpunkt anwenden.

Wenn das geometrische Objekt, mit dem Sie arbeiten, jedoch viel weniger korrekt ist, wie zum Beispiel ein zufällig wackelnder Pfad, müssen Sie sehr hart arbeiten, um jeden Punkt separat zu definieren - Sie haben keine symmetrischen Beziehungen, mit denen Sie unbekannte Punkte markieren können Hilfe bekannt.

Numerische Mengen können auch Symmetrien aufweisen. Je mehr Symmetrien in der Menge vorhanden sind, desto besser ist das Verständnis. Sie können symmetrische Beziehungen anwenden, um unbekannte Werte zu erkennen. Zahlen mit bestimmten Arten von Symmetrie bilden eine "Gruppe", und Mathematiker verwenden die Eigenschaften einer Gruppe, um die darin enthaltenen Zahlen zu verstehen.

Viele rationale Lösungen einer Gleichung brauchen keine Symmetrie zu haben und bilden keine Gruppe, weshalb Mathematiker vor einer unwirklichen Aufgabe stehen, wenn sie versuchen, Lösungen nacheinander zu finden.

Ab den 1940er Jahren begannen Mathematiker, Methoden zur Anordnung diophantiner Gleichungen unter symmetrischeren Bedingungen zu studieren. Der Mathematiker Claude Chaboti [Claude Chabauty] entdeckte, dass sich innerhalb eines größeren geometrischen Raumes von ihm (unter Verwendung des erweiterten Universums der genannten Zahlen)p-adische Zahlen ), rationale Zahlen bilden einen eigenen symmetrischen Unterraum. Er nahm diesen Unterraum und kombinierte ihn mit einem Diagramm der diophantinischen Gleichung. Die Schnittpunkte erwiesen sich als rationale Lösungen der Gleichung.

In den 1980er Jahren klärte der Mathematiker Robert Coleman die Arbeit von Chaboti auf. In den nächsten Jahrzehnten war der Coleman-Chaboti-Ansatz das beste mathematische Werkzeug, das Mathematiker hatten, um rationale Lösungen für diophantinische Gleichungen zu finden. Dies funktioniert jedoch nur, wenn der Graph der Gleichung in einem bestimmten Verhältnis der Größe eines größeren Raums entspricht. Wenn es bricht, wird es schwierig, die Position der Schnittpunkte der Gleichungskurve und der rationalen Zahlen genau zu finden.

"Wenn sich Ihre Kurve im umgebenden Raum befindet, in dem sich zu viele rationale Punkte befinden, sammeln sich diese an und es ist schwierig zu unterscheiden, welche davon sich auf der Kurve befinden", sagt Kiran Kedlaya, Mathematiker an der Universität von Kalifornien in San Diego.

Und hier kommt Kim. Um die Arbeit von Chaboti zu erweitern, wollte er einen noch größeren Raum finden, in dem man diophantinische Gleichungen untersuchen kann - einen Raum, in dem rationale Zahlen stärker fragmentiert sind, was es ermöglicht, die Schnittpunkte mit einer großen Anzahl von Varianten diophantinischer Gleichungen zu untersuchen.





Raum Räume


Wenn Sie einen größeren Raum benötigen und einige Hinweise dazu, wie Sie Symmetrie verwenden können, um darin zu navigieren, ist die Physik genau das Richtige für Sie.

Im allgemeinen Fall ist der Raum im mathematischen Sinne eine beliebige Menge von Punkten mit einer geometrischen oder topologischen Struktur. Tausend Punkte, die wohl oder übel verstreut sind, bilden keinen Raum - sie sind nicht durch eine Struktur miteinander verbunden. Aber die Kugel, die eine zusammenhängende Organisation von Punkten ist, ist bereits ein Raum. Wie der Torus oder die zweidimensionale Ebene oder die vierdimensionale Raumzeit, in der wir leben.

Darüber hinaus gibt es noch exotischere Räume, die man sich als "Räume der Räume" vorstellen kann. Das einfachste Beispiel: Nehmen wir an, Sie haben ein Dreieck - und diesen Raum. Stellen Sie sich nun den Raum aller möglichen Dreiecke vor. Jeder Punkt in ihm repräsentiert ein bestimmtes Dreieck, und die Koordinaten dieses Punktes sind durch die Winkel des von ihm repräsentierten Dreiecks gegeben.

Eine solche Idee ist in der Physik oft nützlich. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie entwickeln sich Raum und Zeit ständig weiter, und die Physiker betrachten jede Konfiguration von Raum und Zeit als einen Punkt im Raum aller Konfigurationen von Raum und Zeit. Space Spaces erscheinen auch in einem Feld, das Physiker als Messgeräteinvarianz bezeichnen und das mit Feldern arbeitet, die über dem physischen Raum liegen. Diese Felder beschreiben, wie sich Kräfte wie Elektromagnetismus und Schwerkraft bei der Bewegung im Raum ändern. Man kann sich vorstellen, dass die Konfiguration dieser Felder an jedem Punkt im Raum etwas anders ist - und dass all diese unterschiedlichen Konfigurationen Punkte im „Raum aller Felder“ einer höheren Dimension bilden.

Dieser Feldraum aus der Physik ist eine Analogie zu Kims Satz für die Zahlentheorie. Um dies zu verstehen, stellen Sie sich einen Lichtstrahl vor. Physiker stellen Licht dar, das sich durch den Raum höherdimensionaler Felder bewegt. In diesem Raum folgt das Licht einem Pfad, der dem Prinzip des geringsten Widerstands folgt und die Zeit, die benötigt wird, um von Punkt A zu Punkt B zu gelangen, auf ein Minimum reduziert kosten

Größere Räume von Räumen, die in der Physik vorkommen, besitzen zusätzliche Symmetrien, die in keinem der von ihnen dargestellten Räume vorhanden sind. Diese Symmetrien lenken die Aufmerksamkeit auf bestimmte Punkte, z. B. auf den zeitsparenden Weg. Dieselben Symmetrien, die auf andere Weise und in einem anderen Kontext konstruiert wurden, können auf andere Punkte fokussiert werden - zum Beispiel auf Punkte, die rationalen Gleichungslösungen entsprechen.



Symmetrie mit Physik verbinden


In der Zahlentheorie gibt es keine Partikel, die verfolgt werden können, aber es hat so etwas wie Raumzeit und es bietet eine Möglichkeit, Pfade zu zeichnen und Raum für alle möglichen Pfade zu schaffen. Aus dieser grundlegenden Korrespondenz entwickelt Kim Schemata, in denen „die Aufgabe, die Flugbahn des Lichts zu finden und rationale Lösungen für diophantinische Gleichungen zu finden, zwei Facetten desselben Problems sind“, erklärte er letzte Woche auf einer Konferenz über mathematische Physik in Heidelberg.

Lösungen diophantiner Gleichungen bilden Räume - dies sind Kurven, die durch Gleichungen definiert werden. Diese Kurven können eindimensional wie ein Kreis oder mehrdimensional sein. Zum Beispiel, wenn Sie eine komplexe Lösung der diophantinischen Gleichung x 4 + y 4 erstellen= 1, Sie erhalten einen Torus mit drei Löchern. Rationale Punkte auf einem solchen Torus haben keine geometrische Struktur - deshalb sind sie schwer zu finden -, aber sie können mit Punkten im mehrdimensionalen Raum von Räumen verglichen werden, die eine solche Struktur haben.



Kim erstellt diesen mehrdimensionalen Raum aus Räumen und gibt an, wie Sie geschlossene Kurven auf dem Torus (oder in dem Raum, der die Gleichung definiert) zeichnen können. Das Verfahren zum Zeichnen von Kurven sieht folgendermaßen aus. Zuerst müssen Sie den Startpunkt auswählen, dann eine Schleife von diesem Punkt zu einem anderen ziehen und zum ersten zurückkehren. Wiederholen Sie nun diesen Vorgang und zeichnen Sie die Pfade, die den Basispunkt mit allen anderen Punkten des Torus verbinden. Sie erhalten ein Dickicht aller möglichen Schleifen, die am Basispunkt beginnen und enden. Diese Menge von Schleifen ist ein zentrales Objekt der Mathematik, die so genannte Grundgruppe des Raumes.

Jeder Punkt auf dem Torus kann als Ausgangspunkt verwendet werden. Jeder Punkt wird ein einzigartiges Dickicht von Pfaden haben, die von ihm ausgehen. Jede dieser Pfadsammlungen kann als Punkt im mehrdimensionalen "Raum aller Pfadsätze" (als Raum aller möglichen Dreiecke) dargestellt werden. Dieser Raum ist geometrisch sehr ähnlich zu dem, was Physiker in der Theorie der Eichinvarianz aufbauen: Wie sich Sätze von Pfaden ändern, wenn Sie von einem Punkt auf dem Torus zu einem anderen gehen, ähnelt stark der Änderung von Feldern, wenn Sie von einem Punkt zu einem anderen gehen ein anderer im realen Raum. Dieser Raum der Räume hat zusätzliche Symmetrien, die sich nicht auf dem Torus selbst befinden. Und obwohl rationale Punkte auf dem Torus keine Symmetrie haben, können wir, wenn wir in den Raum aller Pfadmengen gehen, Symmetrien zwischen den Punkten finden, die mit rationalen Zahlen assoziiert sind.

"Ich sage manchmal, dass" versteckte arithmetische Symmetrie "auf diese Weise codiert wird, was den internen Symmetrien der Eichinvarianztheorie sehr ähnlich ist", sagte Kim.

Wie Chaboti findet Kim rationale Lösungen, indem er Schnittpunkte in dem größeren Raum untersucht, den sie schaffen. Es nutzt die Symmetrie dieses Raumes, um zu den Schnittpunkten zu gelangen. Er hofft, eine Gleichung zu entwickeln, die diese Punkte genau definiert.

Im physischen Kontext können Sie sich alle möglichen Wege vorstellen, die ein Lichtstrahl gehen kann. Dies ist Ihr „Raum aller Wege“. Physiker interessieren sich für Punkte dieses Raumes, die zeitminimierenden Wegen entsprechen. Kim glaubt, dass die Punkte, die den Dickichten der Pfade entsprechen, die von rationalen Punkten stammen, ungefähr die gleiche Eigenschaft haben - das heißt, diese Punkte minimieren eine bestimmte Eigenschaft, die sich ergibt, wenn man die geometrischen Formen der diophantischen Gleichungen betrachtet. Er hat nur noch nicht herausgefunden, was diese Eigenschaft sein könnte.

"Was ich zu finden begann", schrieb er mir in einem Brief, "ist das Prinzip des geringsten Widerstands in einem mathematischen Kontext." "Ich habe es noch nicht gefunden, aber ich bin sicher, dass es existiert."



Unsichere Zukunft


In den letzten Monaten habe ich Kims Vision beschrieben, inspiriert von der Physik, mehreren Mathematikern und Bewunderern seiner Beiträge zur Zahlentheorie. Aber nachdem sie von solchen Details seiner Arbeit erfahren hatten, waren sie verloren.

"Als Theoretiker repräsentativer Werte würden sie sagen: Was zum Teufel bist du?", Sagte Ellenberg.

Bisher erwähnte Kim in keinem seiner Werke die Physik. Stattdessen schreibt er über Objekte, die "Selmer-Variationen" genannt werden, und betrachtet die Beziehung zwischen Selmer-Variationen im Raum aller Selmer-Variationen. Solche Dinge sind Fachleuten der Zahlentheorie vertraut. Für Kim waren sie jedoch immer nur eine andere Bezeichnung für bestimmte physische Objekte.

"Es muss eine Möglichkeit geben, physikalische Ideen zu verwenden, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, aber wir haben immer noch nicht genug darüber nachgedacht, wie eine solche Plattform erstellt werden kann", sagte Kim. "Wir sind in einem solchen Zustand, in dem unser Verständnis der Physik recht gut entwickelt ist und eine ganze Reihe von Zahlentheoretikern daran interessiert sind, den nächsten Schritt zu tun."

Das Haupthindernis für Kims Methode besteht darin, nach Maßnahmen zu suchen, um den Platz aller Schleifensätze zu minimieren. In der physischen Welt sieht dieser Ansatz natürlich aus, aber in der Arithmetik gibt es keine offensichtliche Bedeutung. Selbst die Mathematiker, die Kims Arbeit genau verfolgen, sind sich nicht sicher, ob er sie finden kann.

"Ich denke, Kims Programm wird eine Menge großartiger Dinge für uns tun. Ich glaube nicht, dass wir so klar haben werden, wie Mignon es will, ob rationale Punkte klassische Lösungen für die Theorie der arithmetischen Lehre sind “, sagt Arnav Tripathy, Professor für mathematische Physik an der Harvard University.

Die Sprache der Physik überschneidet sich heute praktisch nicht mit der Praxis der Zahlentheorie. Kim glaubt, dass sich dies mit ziemlicher Sicherheit ändern wird. Vor vierzig Jahren hatten Physik, Geometrie und Topologien wenig gemeinsam. In den achtziger Jahren fanden mehrere Mathematiker und Physiker, die heute bedeutende Persönlichkeiten repräsentieren, präzise Möglichkeiten, die Eigenschaften von Formen mithilfe der Physik zu untersuchen. Nach dieser Entwicklung hat sich dieser Bereich geändert und kehrt nicht mehr zu den alten Methoden zurück.

„Heutzutage ist es fast unmöglich, sich für Geometrie und Topologie zu interessieren, ohne etwas über Physik zu wissen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies mit der Zahlentheorie in den nächsten 15 Jahren passieren wird, sagte Kim. "Alle Verbindungen sind sehr natürlich."