Titanen aus der Mathematik haben sich über die epischen Beweise der ABC-Hypothese gestritten

Published on October 12, 2018

Titanen aus der Mathematik haben sich über die epischen Beweise der ABC-Hypothese gestritten

Ursprünglicher Autor: Erica Klarreich
  • Übersetzung

Zwei Mathematiker behaupten, im Herzen der Beweise ein Loch gefunden zu haben, das die mathematische Gemeinschaft seit sechs Jahren erschüttert.




In einem Bericht , der im September 2018 im Internet veröffentlicht wurde, beschrieben Peter Scholze von der Universität Bonn und Jacob Styx von der Goethe-Universität Frankfurt, was Styx "eine ernste und unersetzliche Lücke" nennt, in einer riesigen Serie umfangreicher Werke von Xinichi Motizuki , dem berühmten genialen Mathematiker der Universität Kyoto . Mochizukis 2012 im Internet veröffentlichte Hypothese beweise angeblich die abc , eines der weitreichendsten Probleme der Zahlentheorie .

Trotz vieler Konferenzen, auf denen versucht wurde, Mochizukis Beweise zu erklären, kämpften die Spezialisten für Zahlentheorie mit den zugrunde liegenden Ideen. Seine Werkserie mit einem Gesamtvolumen von mehr als 500 Seiten ist in einem obskuren Stil verfasst und bezieht sich auf seine frühere Arbeit von etwa 500 Seiten, die zur Entstehung eines „Gefühls der unendlichen Regression“ führt, wie es der Mathematiker Brian Conrad von der Stanford University ausdrückte . Von denjenigen, die Beweise studiert haben, glauben Mathematiker, dass 12 bis 18 Personen Recht haben, wie Ivan Fesenko von der Universität Nottingham mir per E-Mail schrieb. Aber wie kommentiert

Die Situation in der Diskussion der Beweise in einem Blog im vergangenen Dezember, Konrad, für die Treue der Beweise wurde nur Mathematikern aus dem "engsten Kreis von Mochizuki" anvertraut. "Es gibt niemanden mehr, der bereit ist, auch inoffiziell das Vertrauen in die Vollständigkeit der Beweise zu erklären."

Wie Frank Kalegari von der Universität Chicago im Dezember in seinem Blog schrieb , " äußern Mathematiker zögernd Probleme mit dem Beweis von Mochizuki, weil sie keinen bestimmten Fehler aufzeigen können."

Jetzt hat sich alles geändert. In ihrem Bericht argumentieren Scholze und Stix, dass die Argumentation gegen Ende des Beweises von „Folgerung 3.12“ in der dritten von Mochizukis vier Arbeiten grundsätzlich falsch ist. Und diese Konsequenz ist notwendig für den Beweis der von ihr angebotenen abc-Hypothese.

"Es scheint mir, dass das Problem mit der ABC-Hypothese offen bleibt", sagte Scholze. "Und jeder Mensch hat die Chance, es zu beweisen." Die Schlussfolgerungen von


Peter Scholze

Scholze und Stix basieren nicht nur auf ihrer eigenen Untersuchung der Arbeit, sondern auch auf dem wöchentlichen Besuch von Motizuki und seinem Kollegen Yuichiro Hoshi an der Universität Kyoto im März, um diese Beweise zu diskutieren. Scholze sagt, dass dieser Besuch ihm und Styx enorm geholfen habe, den Kern ihrer Einwände auf den Punkt zu bringen. Infolgedessen "kamen einige Wissenschaftler zu dem Schluss, dass es keine Beweise gab", schreiben sie in den Bericht.

Dieses Treffen endete jedoch mit der Unzufriedenheit der Parteien. Mochizuki konnte Scholze und Stix nicht davon überzeugen, dass sein Beweis richtig war, aber sie konnten ihn nicht davon überzeugen, dass er falsch war. Mochizuki hat den Bericht von Scholze und Stix bereits auf seiner Website veröffentlicht und diesen mehrere Einwände hinzugefügt .

Mochizuki kritisiert darin Scholze und Stix wegen "bestimmter grundlegender Fehlinterpretationen" seiner Arbeit. Ihre "negative Haltung", schreibt er, "weist nicht auf das Vorhandensein von Fehlern hin" in seiner Theorie.

So wie Mochizukis seriöser Ruf die Mathematiker dazu veranlasste, seine Arbeit als ernsthaften Versuch zu betrachten, eine Hypothese zu beweisen, sorgt der Ruf von Scholz und Stix dafür, dass die Mathematiker auf das achten, was sie sagen wollen. Obwohl Scholze erst 30 Jahre alt war, stieg er in seiner Region schnell an die Spitze. Im August erhielt er den Fields-Preis , die höchste Auszeichnung in Mathematik. Styx ist Experte für Mochizuki-Forschung, anabelsche Geometrie.

"Peter und Jacob sind äußerst vorsichtige und nachdenkliche Mathematiker", sagte Konrad. "Wenn sie irgendwelche Bedenken haben, sollten sie wirklich geklärt werden."

Stolperstein


Die abc-Hypothese, die Konrad "eine der bekanntesten Hypothesen der Zahlentheorie" nannte, beginnt mit einer der einfachsten Gleichungen, die Sie sich vorstellen können: a + b = c. Drei Zahlen a, b und c sind positive ganze Zahlen, die keine gemeinsamen Primteiler haben. Das heißt, wir können die Gleichung 8 + 9 = 17 oder 5 + 16 = 21 betrachten, aber nicht 6 + 9 = 15, da die Zahlen 6, 9 und 15 durch 3 teilbar sind.

Unter Verwendung einer solchen Gleichung können wir alle Primzahlen betrachten, in die eine der drei in der Gleichung enthaltenen Zahlen unterteilt ist. Im Fall der Gleichung 5 + 16 = 21 sind diese Primzahlen beispielsweise 2, 3, 5 und 7. Ihr Produkt ist 210 und es ist viel größer als eine der in die Gleichung einbezogenen Zahlen. Umgekehrt sind die Primzahlen 2, 3 und 5 an der Gleichung 5 + 27 = 32 beteiligt, deren Produkt gleich 30 ist - was weniger ist als die Zahl 32, die an der Gleichung teilnimmt. Das Produkt ist so klein, weil die Zahlen 27 und 32 sehr kleine einfache Teiler (3 und 2) haben, die einfach viele Male wiederholt werden, um diese Zahlen zu erhalten.

Wenn Sie anfangen, mit anderen abc triples zu spielen, ist diese zweite Option möglicherweise äußerst selten. Beispielsweise gibt es unter 3044 verschiedenen Tripeln, bei denen die Mitglieder von a und b kleiner als 100 sind, nur sieben, bei denen das Produkt der Primteiler kleiner als c ist. Die in den 1980er Jahren formulierte abc-Hypothese formalisiert die intuitive Vorstellung von der Seltenheit solcher Tripel.

Zurück zum Beispiel 5 + 27 = 32. 32 ist mehr als 30, aber nicht viel. Dies ist weniger als 30 2 oder 30 1,5 oder sogar 30 1,02 , was 32,11 entspricht. Die abc-Hypothese besagt, dass, wenn Sie einen Grad größer als 1 wählen, es nur eine endliche Anzahl von abc-Tripeln gibt, für die c mehr Produkte von Primteilern hat, die auf den gewählten Grad angehoben werden.

"Die abc-Hypothese ist eine sehr einfache Aussage in Bezug auf Multiplikation und Division", sagte Minyun Kim von der Universität Oxford. Er sagte, dass mit einer solchen Aussage "es ein Gefühl gibt, dass Sie eine sehr grundlegende Struktur von numerischen Systemen aufdecken, die Sie vorher nicht gesehen haben."

Die Einfachheit der Gleichung a + b = c bedeutet, dass eine Vielzahl anderer Probleme unter ihren Einfluss fallen. Zum Beispiel ist der große Satz von Fermat mit Gleichungen der Form x n + y n = z n verbunden , und die katalanische Hypothese besagt, dass 8 und 9 die einzigen aufeinanderfolgenden zwei perfekten Potenzen [von Zahlen, ausgedrückt als ganze Zahl in einem ganzzahligen Grad / ca. transl.] (da 8 = 2 3und 9 = 3 2 ) spricht von einer Gleichung der Form x m + 1 = y n . Die abc-Hypothese (in einer bestimmten Form) würde diese beiden Theoreme neu beweisen und einen ganzen Berg von damit verbundenen offenen Problemen lösen.


Jacob Stix

Diese Hypothese "scheint an der Grenze zwischen dem Bekannten und dem Unbekannten zu liegen", schrieb Dorian Goldfeld von der Columbia University.

Das Ausmaß der Konsequenzen des Beweises der Hypothese überzeugte die Zahlentheoretiker, dass es sehr schwierig sein würde, dies zu beweisen. Als sich 2012 die Information verbreitete, dass Mochizuki Beweise vorlegte, stürzten sich viele Mathematiker begeistert in seine Arbeit - aber nur, um aufgrund einer ungewohnten Sprache und einer ungewöhnlichen Präsentation von Informationen in eine Sackgasse zu geraten. Die Definitionen erstreckten sich über mehrere Seiten, gefolgt von Theoremen mit gleich langen Aussagen, und ihre Beweise wurden mit Ausdrücken wie „folgt unmittelbar aus der Definition“ beschrieben.

"Jedes Mal, wenn ich von der Analyse der Arbeit von Mochizuki durch einen Experten (inoffiziell) höre, ist seine Rezension unglaublich vertraut: die weiten Bereiche der Trivialitäten, gefolgt von riesigen Bergen ungerechtfertigter Schlussfolgerungen", schrieb erCalegari auf seinem Blog im Dezember.

Scholze war einer der ersten Leser des Werkes. Er ist dafür bekannt, dass er Mathematik schnell aufnimmt und tief in sie eindringt. Deshalb hat er viele Theoretiker weiterentwickelt und das, was er als „grobe Lektüre“ von vier Hauptwerken bezeichnet, kurz nach ihrem Erscheinen beendet. Scholze war es peinlich, lange Theoreme mit kurzen Beweisen zu formulieren, die ihm treu erschienen, aber unbegründet waren. Später schrieb er, dass in zwei Zwischenwerken "wenig passiert".

Dann kam Scholze im dritten Aufsatz zu Korollar 3.12. Mathematiker verwenden normalerweise das Wort "Konsequenz", um einen Satz zu bezeichnen, der dem vorhergehenden, wichtigeren, zweitrangig ist. Im Fall von Korollar 3.12 von Mochizuki stimmen die Mathematiker jedoch darin überein, dass dies der Hauptsatz ist, der die abc-Hypothese beweist. Ohne sie "gibt es keinen Beweis", schrieb Kalegari. "Dies ist ein kritischer Schritt."

Diese Konsequenz ist der einzige Satz in zwei Zwischenwerken, dessen Beweis mehr als ein paar Zeilen dauert - er erstreckt sich über neun Seiten. Scholze ging durch sie hindurch und erreichte den Punkt, an dem er der Logik nicht mehr folgen konnte.

Zu dieser Zeit war er erst 24 Jahre alt und er glaubte, dass der Beweis falsch war. Aber er ging praktisch nicht in die Diskussion der Werke ein, es sei denn, er wurde direkt danach gefragt. Schließlich, so meinte er, würden andere Mathematiker in diesen Werken sicherlich sinnvolle Ideen finden, die er vermisste. Oder vielleicht kommen sie irgendwann zu dem gleichen Schluss wie er. So oder so, dachte er, würde die mathematische Gemeinschaft in der Lage sein, die Dinge zu regeln.

Eschers Leiter


In der Zwischenzeit hatten andere Mathematiker mit unpassierbaren Jobs zu kämpfen. Viele hatten große Hoffnungen auf ein Treffen , das der Arbeit von Mochizuki gewidmet war und für Ende 2015 an der Universität Oxford geplant war. Als jedoch mehrere Kollegen Mochizuki versuchten, die Schlüsselideen des Beweises zu erklären, kam eine „Nebelwolke“ auf die Zuhörer, wie Konrad in einem Bericht kurz nach dem Treffen schrieb. "Es war notwendig, dass Menschen, die diese Arbeit verstanden haben, den Spezialisten für arithmetische Geometrie, die im Kern liegt, erfolgreicher erklärt werden " , schrieb er .

Innerhalb weniger Tage nach seinem Posten erhielt Konrad unerwartete Briefe von drei Mathematikern (von denen einer Scholz war), in denen dasselbe beschrieben wurde: Sie konnten die Werke lesen und verstehen, bis sie einen bestimmten Punkt erreichten. "Jeder der drei wurde durch Beweise gestoppt 3.12", schrieb Konrad später.

Kim hörte ähnliche Rückmeldungen zu Korollar 3.12 und von einem anderen Mathematiker, Teruhisi Koshikawa, der an der Kyoto-Universität arbeitet. Styx stolperte auch an dieser Stelle. Nach und nach stellten viele Zahlentheoretiker fest, dass diese Konsequenz ein Stolperstein war, aber es war nicht klar, ob sein Beweis eine Lücke aufwies oder ob Mochizuki seine Argumentation einfach besser erklären musste.

Zum Entsetzen vieler Theoretiker gab es 2017 Gerüchte, dass Mochizukis Werk zur Veröffentlichung angenommen wurde. Mochizuki selbst war Chefredakteur dieser Zeitschrift, der Publikationen des Forschungsinstituts für Mathematische Wissenschaften . Kalegari nannte diese Situation " schlecht aussehend " (obwohl der Herausgeber in solchen Situationen normalerweise nicht in der Lage ist, eine Entscheidung zu treffen). Vor allem aber machten sich Mathematiker Sorgen, dass die Arbeit immer noch unleserlich sei.


Xinichi Mochizuki auf Video auf der Konferenz 2015 über sein Zeugnis

"Kein einziger Experte, der behauptet, die Beweise zu verstehen, hat es keinem der vielen Experten erklärt, die nach wie vor verwirrt sind", schrieb Matthew Emertonvon der Universität von Chicago.

Kalegari schrieb einen Artikel, in dem er diese Situation als „ völligen Misserfolg “ bezeichnete, und sein Standpunkt wurde von herausragenden Theoretikern aufgegriffen. "Wir haben eine lächerliche Situation, in der abc in Kyoto als Theorem und an allen anderen Orten als Hypothese angesehen wird", schrieb Kalegari.

Das PRIMS-Magazin beantwortete die Presseanfragen bald mit einer Erklärung, in der klargestellt wurde, dass die Werke nicht zur Veröffentlichung angenommen wurden. Schon vorher beschloss Scholze jedoch, das, was er schon lange in privaten Gesprächen vor vielen Theoretikern gesagt hatte, öffentlich zu machen. Er entschied, dass all diese Beweisdiskussionen "zu sozial" seien. "Alle sagten, dass diese Beweise nicht so scheinen, aber niemand sagte:" Es gibt einen Ort, an dem niemand die Beweise verstand. "

In den Kommentaren zu dem Beitrag schrieb Kalegari Scholze, dass er „der Logik nach Abb. 1 nicht folgen könne. 3.8 im Beweis der Folgerung 3.12. Er fügte hinzu, dass Mathematiker, "die behaupten, die Beweise zu verstehen, nicht zugeben wollen, dass sie dort etwas hinzufügen müssen."

Shigefumi Mori , Mochizukis Kollege von der Kyoto University, Gewinner des Filds Prize, schrieb an Scholze mit dem Vorschlag, ein Treffen mit Mochizuki zu arrangieren. Scholze wiederum wandte sich an Styx, und im März ging das Paar nach Kyoto, um mit Mochizuki und Hoshi über einen Stolperstein zu sprechen.

Mochizukis Herangehensweise an die abc-Hypothese führt das Problem in den Bereich der elliptischen Kurven., eine spezielle Art von kubischen Gleichungen mit zwei Variablen, x und y. Dieser Übergang, der bereits vor Mochizuki bekannt war, wird einfach ausgeführt - Sie müssen jede abc-Gleichung mit einer elliptischen Kurve verknüpfen, deren Diagramm die x-Achse an a, b und am Ursprung schneidet -, aber Mathematiker können die reichhaltige Struktur elliptischer Kurven verwenden, mit denen die Zahlentheorie kombiniert wird Geometrie, ganzzahlige Nummerierung und andere Bereiche. (Derselbe Übergang steht im Mittelpunkt des Beweises des Great Fermat-Theorems von 1994, der von Andrew Wiles ausgeführt wurde ).

Infolgedessen reduziert sich die abc-Hypothese auf den Beweis der Ungleichung zwischen zwei mit elliptischen Kurven verbundenen Größen. Mochizukis Arbeit übersetzt diese Ungleichung in eine andere Form, die, wie Styx sagte, als Vergleich der Volumina zweier Mengen dargestellt werden kann. In Folgerung 3.12 liefert er seinen eigenen Beweis für diese Ungleichung, die, falls sie zutrifft, die abc-Hypothese beweisen würde.

In dem von Scholze und Stix beschriebenen Proof werden die Volumina der beiden Mengen so betrachtet, als befänden sie sich in zwei verschiedenen Kopien von reellen Zahlen, die als Teil eines Kreises von sechs verschiedenen Kopien von reellen Zahlen dargestellt sind, und mit einem Markup, das erklärt, wie jede Kopie zugeordnet ist dein nachbar im kreis. Um die Beziehung der Volumen von Sätzen zueinander zu verfolgen, ist es notwendig zu verstehen, wie Volumenmessungen in einer Kopie mit Messungen in anderen Kopien zusammenhängen, wie Styx sagte.

"Wenn Sie eine Ungleichung von zwei Objekten haben, aber gleichzeitig das Messlineal mehrmals außerhalb Ihrer Kontrolle komprimiert wird, verlieren Sie die Kontrolle darüber, was Ungleichung im Allgemeinen bedeutet", sagte Styx.

Scholze und Styx glauben, dass in diesem kritischen Moment des Beweises alles zusammenbricht. Im Mochizuki-Markup sind die Messlinien logisch miteinander kompatibel. Aber wenn Sie den Kreis umrunden, sagte Styx, dann haben Sie ein Lineal, das nicht so ist wie das, wenn Sie in die andere Richtung gehen. Diese Situation, sagte er, ähnele der berühmten geschlossenen Treppe von Escher , auf die man klettern und sich dann an derselben Stelle wiederfinden kann [es ist richtiger zu sagen, dass dies die Treppe von Penrose ist , auf deren Grundlage Escher eine berühmte Zeichnung angefertigt hat / ca. trans.].

Scholze und Styx kamen zu dem Schluss, dass diese Inkompatibilität der Volumenmessungen dazu führt, dass die falschen Werte in der endgültigen Ungleichung verglichen werden. Und wenn Sie alles korrigieren, damit die Volumina vergleichbar werden, wird die Ungleichung bedeutungslos, heißt es.

Scholze und Styx "fanden einen bestimmten Grund, warum die Beweise nicht funktionieren", sagte Kiran Kedlaya, ein Mathematiker an der Universität von Kalifornien in San Diego, der die Arbeit von Mochizuki im Detail studierte. „Wenn der Beweis wahr ist, sollte er mit etwas anderem funktionieren, mit etwas weniger expliziten“, als es Scholz und Styx beschreiben.

Mochizuki argumentiert, dass dies die Anwesenheit von etwas weniger Offensichtlichem ist. Er schreibt, dass Scholze und Styx sich irren und willkürlich mathematische Objekte gleichsetzen, die als unterschiedlich angesehen werden sollten. Als er Kollegen von der Natur der Einwände von Scholze und Stix erzählte, schrieb er, wurde seine Beschreibung "mit bemerkenswerter allgemeiner Überraschung und sogar mit dem Verdacht aufgenommen (und dann auch lächerlich gemacht), dass solch ein unglaubliches Missverständnis überhaupt entstanden sein könnte."

Jetzt müssen Mathematiker die Argumente von Scholze und Stix und Mochizukis Antwort verdauen. Scholze hofft, dass dieser Prozess anders als bei Mochizukis Originalwerk nicht lange andauern wird, da ihre Natur mit den Styx-Einwänden nicht so technisch komplex ist. Andere Theoretiker "sollten in der Lage sein, der Linie unserer Diskussion mit Mochizuki zu folgen", sagte er.

Mochizuki, alles ist ganz anders. Die Kritik an Scholze und Stix rührt aus seiner Sicht von "Zeitmangel, um sich richtig mit der diskutierten Mathematik zu befassen", was möglicherweise auf "ein Gefühl tiefer Unbehaglichkeit oder Unvertrautheit mit der neuen Art des Denkens über vertraute mathematische Objekte" zurückzuführen ist.

Mathematiker, die zuvor skeptisch gegenüber dem Beweis von Mochizuki waren, könnten durchaus entscheiden, dass der Bericht von Scholz und Stix dieser Geschichte ein Ende setzt, sagte Kim. Andere werden die Berichte selbst studieren wollen, und dies, glaubt Kim, hat bereits begonnen. "Ich glaube nicht, dass ich es vermeiden kann, alles selbst überprüfen zu müssen, bevor ich etwas für mich selbst entscheide", schrieb er per Post.

In den letzten Jahren haben viele Zahlentheoretiker aufgehört, die Arbeit von Mochizuki zu verstehen. Aber wenn Mochizuki oder seine Anhänger eine ausführliche und schlüssige Erklärung liefern können, warum das Bild von Scholze und Stix zu vereinfacht ist (falls ja), "kann dies viel dazu beitragen, die Müdigkeit, die mit diesem Problem verbunden ist, zu beseitigen und die Menschen dazu zu inspirieren, neue zu probieren". - sagte Kedlay.

In der Zwischenzeit sagt Scholze: "Ich denke, dies kann nicht als Beweis angesehen werden, bis Mochizuki eine ernsthafte Änderung vornimmt und den Schlüsselschritt nicht viel besser erklärt." Er selbst sieht in seinen Worten „nicht die Schlüsselidee, die uns dem Beweis der ABC-Hypothese näher bringen könnte“.

Unabhängig vom endgültigen Ergebnis der Diskussion sollte die eindeutige Bezeichnung eines bestimmten Ortes für den Beweis von Mochizuki alles sehr gut verdeutlichen, sagte Kim. "Was Jacob und Peter gelungen sind, einen sehr wichtigen Dienst für die Gemeinde zu leisten", sagte er. "Was auch immer passiert, ich bin sicher, dass diese Berichte ein Fortschritt sein werden."