Wie man ein unmögliches Polyeder macht: unwirkliche Mathematik der wirklichen Welt

Published on July 03, 2017

Wie man ein unmögliches Polyeder macht: unwirkliche Mathematik der wirklichen Welt

Ursprünglicher Autor: Evelyn Lamb
  • Übersetzung

Mathe gibt uns eine genaue Vorstellung von fast genauen Antworten.


Bild

Craig Kaplan sammelt mit schwerem Papier und durchsichtigem Klebeband ein wunderschönes, abgerundetes Objekt, das der Kreation von Buckminster Fuller oder einer modischen neuen Art von Fußball ähnelt . Es besteht aus vier regelmäßigen Zwölfecken (12 Gons mit den gleichen Winkeln und Seiten) und 12 Zehnecken (10-seitige Polyeder) mit 28 kleinen Öffnungen in Form von gleichseitigen Dreiecken. Es gibt nur ein Problem - diese Zahl kann nicht existieren. Solch ein Satz von Polygonen stimmt nicht mit den Eckpunkten überein und die Form wird nicht geschlossen.

Das Kaplan-Modell funktioniert nur, weil Sie ein wenig Handlungsspielraum haben, wenn Sie es aus Papier einsammeln. Die Seiten können sich fast unmerklich verbiegen. "Die Fehlerquote, die sich aus der Arbeit mit Papier in der Praxis ergibt, bedeutet, dass die Dinge, die eigentlich nicht möglich sein sollten, erhalten werden", sagte Kaplan, ein IT-Spezialist von der University of Waterloo in Kanada.

Bild

Dies ist ein neues Beispiel aus der Klasse der unerwarteten mathematischen Objekte, über die der amerikanische Mathematiker Norman Johnson in den 1960er Jahren gestolpert ist. Johnson arbeitete an der Fertigstellung eines Projekts, das Platon vor mehr als 2.000 Jahren begonnen hatte - er erstellte einen Katalog mit idealen geometrischen Formen. Von der gesamten unendlichen Vielfalt dreidimensionaler Figuren können nur fünf aus identischen regelmäßigen Polygonen erzeugt werden: ein Tetraeder, ein Oktaeder, ein Hexaeder, ein Ikosaeder, ein Dodekaeder. Wenn Sie verschiedene reguläre Polygone mischen, können Sie 13 weitere Formen erstellen, in denen alle Polygone auf Eckpunkte treffen - archimedische Körper - sowie Prismen (zwei identische Polygone, die durch Quadrate verbunden sind) und „Antiprismen“ (zwei identische Polygone, die durch gleichseitige Dreiecke verbunden sind).

Im Jahr 1966 entdeckte Johnson, der an der Universität von Michigan arbeitete, 92 weitere Körper, die nur aus regulären Polygonen bestanden. Diese werden heute [in den USA] Johnson-Körper genannt . Und das hat alle Möglichkeiten ausgeschöpft, was der russische Mathematiker Viktor Abramovich Zalgaller , der damals an der Staatlichen Universität Leningrad arbeitete , einige Jahre später bewies . Es ist unmöglich, eine andere geschlossene Form aus regulären Polygonen zusammenzusetzen.

Aber während der Bestandsaufnahme von Polyedern bemerkte Johnson etwas Seltsames. Er fand seine Formen und fertigte Modelle aus Pappe und Gummibändern an. Da es einige mögliche Polyeder gibt, erwartete er, dass die neuen Formen ziemlich schnell erscheinen würden. Wenn Sie anfangen, die Kanten zusammenzufassen, muss die Figur übereinstimmen. Dies ist aber nicht geschehen. „Bei der Zusammenstellung vieler Polygone war es nicht immer offensichtlich, ob ich eine gültige Zahl zusammengestellt hatte“, erinnert sich Johnson.

Es mag so aussehen, als hätte sich das Modell zusammengesetzt, aber „wenn Sie die Berechnungen durchführen, stellt sich heraus, dass dies nicht ganz stimmt“, sagt er. Beim sorgfältigen Studium stellte sich heraus, dass das, was quadratisch schien, nicht genau quadratisch war oder die Seiten nicht vollständig flach waren. Es wäre möglich, die Kanten leicht zu schneiden, und sie würden perfekt zusammenfallen, aber dann wären es keine regelmäßigen Polygone.

Johnson, der sich vorgenommen hatte, alle idealen Figuren zu zählen, legte keinen Wert auf solche „engen Treffer“. "Ich habe sie abgeschoben und mich auf das Zulässige konzentriert", sagt er. Diese nahezu idealen Zahlen erregten jedoch nicht nur die Aufmerksamkeit von Kaplan und anderen Liebhabern der Mathematik, sondern wurden auch Teil eines größeren Teils der nahezu idealen Mathematik.

Es gibt keine genaue Definition eines "fast genauen" Treffers. Strenge Regeln funktionieren in einer erträglichen Welt nicht. Jetzt orientiert sich Kaplan bei der Suche nach fast korrekten Zahlen an einer Näherungsmethode: "Ein realer, mathematischer Fehler, der einer Figur innewohnt, ist vergleichbar mit einem praktischen Fehler, der sich aus der Arbeit mit Materialien aus der realen Welt und unvollkommenen Händen ergibt." Mit anderen Worten, wenn Sie es geschafft haben, ein unmögliches Polyeder zusammenzusetzen - wenn es so nah an der Möglichkeit liegt, dass Sie es als real ausgeben können -, dann ist dies eine fast exakte Zahl. In anderen Bereichen der Mathematik sind fast exakte Ergebnisse so realistisch, dass sie Sie täuschen oder überraschen können - eine Art mathematischer Witz.

Einige solcher mathematischen Kuriositäten können nicht mehr als nur Spaß genannt werden, während andere tiefe Bedeutungen in Mathematik und Physik haben können.

Die alten Probleme der Quadratur eines Kreises und der Verdoppelung eines Würfels fallen in die Kategorie der fast korrekten Lösungen. Sie scheinen verführerisch offen für die Suche nach der richtigen Lösung zu sein, aber am Ende erweisen sie sich als unmöglich - wie eine geometrische Figur, die geschlossen aussieht, aber nicht. Einige Entwürfe, gezeichnet von Leonardo da Vinci und Albrecht Durer, bogen die Ecken leicht ab und gaben fast regelmäßige Pentagone als echte.

Bild

Und es gibt ein Rätsel. In der Figur ist ein rechtwinkliges Dreieck in vier Teile geschnitten. Wenn Sie sie an bestimmten Stellen neu anordnen, wird eine Lücke angezeigt. Woher kam er? Dies ist auch fast die richtige Entscheidung. Keines der Dreiecke ist tatsächlich ein Dreieck. Ihre Hypotenuse ist gekrümmt und kaum zu bemerken, weshalb die Illusion so überzeugend ist.

Der digitale Zufall ist eine der nützlichsten und beinahe korrektesten Entscheidungen im täglichen Leben. 2 7/12 ist fast gleich 3/2. Aus einem ähnlichen Grund hat das Klavier 12 Tasten in der Oktave und an der Basis einer gleichmäßig temperierten Tonhöhewestliche Musik. Dies ist ein Kompromiss zwischen den beiden wichtigsten musikalischen Intervallen: einer Oktave (2: 1 Frequenz) und einer Quint (3: 2 Frequenz). Es ist numerisch unmöglich, eine Oktave so zu teilen, dass alle Quinten perfekt sind. Sie können dem jedoch nahe genug kommen, indem Sie die Oktave in 12 Halbtöne unterteilen, von denen sieben eine Frequenz von 1,498 ergeben. Für die meisten Menschen ist das genug.

Manchmal treten in der Mathematik fast genaue Treffer auf, als würde sie sich selbst täuschen. In der Simpsons-Folge "Treehouse of Horror VI" bemerkten an Mathematik interessierte Zuschauer etwas Ungewöhnliches: Gleichung 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 . Auf den ersten Blick mag es scheinen, als hätten die Autoren die Great Theorem Farm widerlegt, in der die Gleichung x n + y postuliert wirdn = z n es gibt keine ganzzahligen Lösungen für n> 2. Wenn Sie diese Zahlen in einen Taschenrechner eingeben, erscheint Ihnen das Ergebnis korrekt. Wenn Sie jedoch Berechnungen mit einer Genauigkeit durchführen, auf die die meisten Taschenrechner keinen Zugriff haben, stellt sich heraus, dass die Wurzel von 12 Grad von der linken Seite der Gleichung 1921.999999955867 und nicht 1922 ist und Ferma ruhig sein kann. Ein überraschend kleiner Schlupf von weniger als 10 parts per million.

Aber solche fast genauen Treffer sind nicht nur Witze. "Diejenigen, die mich mehr als andere faszinieren, deuten auf etwas Bedeutenderes hin", sagt John Baez, Mathematiker an der University of California in Riverside. Dies ist der Fall bei einer Größe, die manchmal als Ramanujan- Konstante bezeichnet wird . Diese Zahl ist e π √163entspricht etwa 262 537 412 640 768 743.99999999999925 - überraschend nah am Ganzen. Wir können nicht erwarten, dass diese drei irrationalen Zahlen - e, π und √163 - irgendwie kombiniert werden und uns eine rationale Zahl geben, ganz zu schweigen von einem Ganzen. Aber es gibt einen Grund, warum sie so gut zusammenpassen. "Dies ist kein Zufall, von dem wir keine Ahnung haben", sagt Baez. "Dies ist der Schlüssel zu den Tiefen der Mathematik." Die genaue Erklärung ist ziemlich kompliziert, basiert jedoch auf der Tatsache, dass 163 die größte der Hegner-Zahlen ist . Die mit diesen Zahlen verbundenen Exponenten liegen sehr nahe an ganzen Zahlen.

Oder nehmen Sie den mathematischen Zusammenhang, bekannt als die „monströse Mondschein-Hypothese“ (monströser Mondschein). Die Geschichte ist folgende: 1978 machte der Mathematiker John McKay eine so triviale wie interessante Beobachtung: 196.884 = 196.883 + 1. Die erste Zahl war der Koeffizient eines wichtigen Polynoms, einer j-Invariante , und die zweite entstand im Zusammenhang mit einem riesigen mathematischen Objekt aus der Gruppentheorie genannt " Monster"Viele Leute zuckten die Achseln und gingen noch weiter, aber diese Beobachtung interessierte viele Mathematiker, die beschlossen, sich näher damit zu befassen. Sie fanden eine Verbindung zwischen zwei scheinbar unabhängigen Themen: der Zahlentheorie und der Symmetrie der Monstergruppen. Diese Verbindung mag noch breiter sein offen, Implikationen für andere Themen Der Physiker Edward Whitten glaubt, dass die Monstergruppe mit der Quantengravitation und der Struktur der Raum-Zeit in Verbindung gebracht werden kann.

Mathematisch fast korrekte Treffer zeigen sowohl Verspieltheit als auch die Kraft der menschlichen Herangehensweise an die Mathematik. Johnson, Kaplan und andere machten mithilfe von Versuch und Irrtum Entdeckungen - indem sie die Region untersuchten, wie ein Biologe, der auf der Suche nach neuen Arten durch den Dschungel watet. In der Mathematik ist es jedoch einfacher, eine systematische Suche durchzuführen. Zum Beispiel haben Jim McNeil, der sich für Mathematik als Hobby interessiert und auf seiner Website eine Sammlung fast korrekter Treffer sammelt, und Robert Webb, ein Programmierer, Software zum Erstellen und Studieren von Polyedern entwickelt.

Fast akkurate Treffer leben an der verwischten Grenze zwischen idealistischer, starrer Mathematik und unseren herablassenden und praktischen Gefühlen. Sie wenden die Logik der Annäherung von innen nach außen. Normalerweise wird die reale Welt als unvollkommener Schatten der Welt von Platon betrachtet. Die Perfektion der zugrunde liegenden Mathematik geht bei ihrer Umsetzung verloren. Bei fast genauen Treffern ist die reale Welt der perfekte Schatten einer nicht idealen Welt. Annäherung ist "die falsche Annäherung der richtigen Antwort", sagt Kaplan, und "ein fast genauer Treffer ist eine exakte Darstellung einer fast exakten Antwort".

Fast exakte Antworten verändern so die Verbindung von Mathematikern und mathematischen Physikern mit der Natur. „Ich bin dankbar für die Unvollkommenheiten der realen Welt, denn sie ermöglichen es mir, quasi das Ideal zu erreichen, indem ich mit Objekten arbeite, die von Natur aus unvollkommen sind“, sagt Kaplan. "Sie ermöglichen es mir, die Grenzen der Mathematik dank der Schönheit einer gebrochenen Realität zu überwinden."